神経計算のモデル

20世紀の生物物理学における偉大な業績の一つ​​として広く認められているホジキン・ハクスリーモデルは、ニューロンにおける活動電位が電圧依存性イオンチャネルを介して軸索内でどのように発生し伝播するかを記述するものである。これは、1952年にアラン・ロイド・ホジキンとアンドリュー・ハクスリーによって、イカの巨大軸索に対する電圧クランプ実験の結果を説明するために導入された一連の非線形常微分方程式である。解析解は存在しないが、ガウス・ニュートン法を改良したレーベンバーグ・マルカート法が、これらの方程式を電圧クランプデータに適合させるためによく用いられる。

フィッツヒュー・ナグモモデルは、ホジキン・ハクスリーモデルを簡略化したものである。ヒンドマーシュ・ローズモデルは、ニューロンのスパイクバーストを記述する拡張モデルである。モリス・レカーモデルは、スパイクを生成しないものの、中枢パターン発生器の抑制性シナプス機構に関与する徐波伝播を記述する改良モデルである。

ソリトンモデルは、ホジキン・ハクスリーモデルに代わるもので、神経パルス伝播の熱力学的理論に基づいて、軸索に沿ってソリトンとしてモデル化できる特定の種類の孤立音（または密度）パルスの形で活動電位がどのように開始され、伝導されるかを説明すると主張している。

このアプローチは、制御理論と信号処理の影響を受けており、ニューロンとシナプスを時間不変の実体として扱い、入力信号の線形結合である出力を生成する。この出力は、明確な時間的または空間的周波数を持つ正弦波として表現されることが多い。

ニューロンやシナプスの挙動全体は、その正確なメカニズムが不明であるにもかかわらず、伝達関数に符号化されている。このため、情報伝達の問題に高度に発達した数学が適用されることになる。

付随する線形フィルタの分類体系は、神経回路の特徴づけに役立つことがわかった。低域通過フィルタと高域通過フィルタは、それぞれ高コントラスト環境と低コントラスト環境における情報損失を防ぐ働きをするため、感覚系には何らかの形で存在すると考えられている。

実際、線形システム解析によるカブトガニ網膜のニューロンの伝達関数の測定では、入力信号の短期的な変動を除去し、ローパスフィルターのように長期的な傾向のみを残すことが示されています。これらの動物は、水中の流れによって引き起こされる光学的歪みの助けなしには、低コントラストの物体を見ることができません。^{[ 8 ] [ 9 ]}

網膜では、興奮した神経受容体が、抑制野と呼ばれる領域内の周囲のニューロンの活動を抑制することがあります。この効果は側方抑制として知られ、視覚応答のコントラストと鮮明度を高めますが、マッハバンドという付随現象を引き起こします。これは、輝度の異なる2つの領域間の明確な境界の横に、明暗の縞模様が現れるという錯視によってよく説明されます。

ハートライン・ラトリフモデルは、 p個の光受容細胞群内の相互作用を記述する。^{[ 10 ]}これらの相互作用が線形であると仮定して、彼らは定常状態応答率について以下の関係を提案した。$\displaystyle r_{p}}$与えられたp番目の光受容体の定常状態応答率$\displaystyle r_j}}$j個の周囲の受容体について：

${\displaystyle r_{p}=\left|\left[e_{p}-\sum _{j=1,j\neq p}^{n}k_{pj}\left|r_{j}-r_{pj}^{o}\right|\right]\right|}$。

ここ、

${\displaystyle e_{p}}$感覚伝達による標的p番目の受容体の興奮

$\displaystyle r_{pj}^{o}}$は発火細胞の関連閾値であり、

${\displaystyle k_{pj}}$は、 p番目の受容体とj番目の受容体との間の阻害的相互作用の係数である。阻害的相互作用は、標的となるp番目の受容体からの距離が離れるにつれて減少する。

Jeffress [ ^{11 ]}によると、聴覚系は両耳間の時間差から空間内の音源の位置を計算するために遅延線を利用している。つまり、^同側の聴覚受容体から特定のニューロンに誘導される信号は、元の音がその耳からもう一方の耳まで空間を伝わるのにかかる時間と同じだけ遅延する。各シナプス後細胞は異なる遅延を受けるため、特定の両耳間時間差に特有である。この理論は、相互相関の数学的手順と同等である。

フィッシャーとアンダーソン^{[ 12 ]}に倣って、左右の耳からの信号に対するシナプス後ニューロンの応答は次のように表される。

${\displaystyle y_{R}\left(t\right)-y_{L}\left(t\right)}$

どこ

${\displaystyle y_{L}\left(t\right)=\int _{0}^{\tau }u_{L}\left(\sigma \right)w\left(t-\sigma \right)d\sigma }$

${\displaystyle y_{R}\left(t\right)=\int _{0}^{\tau }u_{R}\left(\sigma \right)w\left(t-\sigma \right)d\sigma }$

そして

${\displaystyle w\left(t-\sigma \right)}$これは遅延関数を表しています。ただし、これは完全に正しいとは言えず、記号を正しい順序に並べるには注意が必要です。

メンフクロウには、ジェフレス型メカニズムと一致する構造が発見されている。^{[ 13 ]}

モーションディテクターは、ペア入力、非対称性、非線形性という3つの一般的な要件を満たす必要があります。^{[ 14 ]}一対の光受容体からの応答に対して非対称に実装された相互相関演算は、これらの最小限の基準を満たし、さらに、双翅昆虫の小葉板ニューロンの応答で観察された特徴を予測します。^{[ 15 ]}

応答のマスター方程式は

${\displaystyle R=A_{1}(t-\tau )B_{2}(t)-A_{2}(t-\tau )B_{1}(t)}$

HRモデルは、特定の入力時間周波数で応答がピークに達することを予測します。概念的に類似したBarlow-Levickモデルは、ペアの受容体のうち1つに提示された刺激だけで応答を生成するのに十分であるという点で欠陥があります。これは、時間的に順序付けられた2つの相関信号を必要とするHRモデルとは異なります。しかし、HRモデルは、実験で観察される高コントラストでの応答の飽和を示しません。Barlow-Levickモデルの拡張により、この矛盾を説明できます。^{[ 16 ]}

これは空間方向と時間方向の両方で相互相関を使用し、オプティカルフローの概念に関連しています。^{[ 17 ]}

相互抑制プロセスは、すべての中枢パターン発生器の統一的なモチーフである。これは、ザリガニやロブスターの胃口神経系（STG）で実証されている。^{[ 18 ]} STGに基づく2細胞および3細胞の振動ネットワークが構築されており、数学的解析が可能で、シナプス強度と全体的な活動（おそらくこれらのつまみ）に単純な方法で依存している。^{[ 19 ]}関係する数学は、力学系の理論である。

ハエの飛行制御は、視覚系からの入力と、角速度を測定する一対のこぶ状の器官である平均棍によって媒介されると考えられている。飛行制御の詳細を調査するために、制御理論によって与えられた一般的なガイドラインとハエのテザー飛行からのデータに基づいて、神経回路は少ないが統合されたショウジョウバエのコンピュータモデルが構築されている。^{[ 20 ] [ 21 ]}

テンソルネットワーク理論は、小脳ニューロンネットワークによる感覚時空間座標から運動座標への変換、およびその逆の変換の数学的モデルを提供する小脳機能の理論です。この理論は、1980年代にアンドラス・ペリオニスとロドルフォ・リナスによって、テンソルを使用して脳機能（特に中枢神経系）を幾何学化するために開発されました。^{[ 22 ] [ 23 ]}