マトリックス分析

数学、特に線型代数とその応用において、行列解析は行列とその代数的性質を研究する学問である。 ^[1]多くのトピックのうち、特に注目すべきものとしては、行列に対して定義される演算（行列の加算、行列の乗算、およびこれらから派生した演算など）、行列の関数（行列の累乗、行列の対数、さらには行列の正弦や余弦など）、行列の固有値（行列の固有分解、固有値摂動論）などがある。^[2]

この記事でM _mn ( F )と表記される体F上のすべてのm  ×  n行列の集合はベクトル空間を形成する。Fの例には、有理数、実数、複素数などの集合が含まれる。 mとpが等しくない場合、およびnとqが等しくない場合、空間M _mn ( F ) とM _pq ( F ) は異なる空間である。たとえば、M ₃₂ ( F ) ≠ M ₂₃ ( F )。M _mn ( F )内の2 つのm  ×  n行列AとB を加算して、空間M _mn ( F )内の別の行列を形成できる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}$

これをFのαで乗算すると、 M _mn ( F ) の別の行列が得られます。

${\displaystyle \alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)}$

これら 2 つの特性を組み合わせると、M _mn ( F )内の行列AとBの線形結合は、 M _mn ( F )内の別の行列になります。

${\displaystyle \alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)}$

ここで、αとβはF内の数値です。

任意の行列は、行列空間の基底ベクトルの役割を果たす基底行列の線形結合として表現できます。たとえば、実数体上の 2 × 2 行列の集合の場合、行列の正当な基底集合の 1 つは次のようになります。 ${\displaystyle M_{22}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

任意の 2 × 2 行列は次のように表現できるためです。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

ここで、a、b、c、dはすべて実数です。この考え方は、他のフィールドや高次元の行列にも適用されます。

正方行列の行列式は重要な特性です。行列式は、行列が逆行列であるかどうかを示します(つまり、行列式が 0 以外の場合、行列の逆行列が存在する)。行列式は、行列の固有値を見つける (以下を参照) ため、および線形方程式のシステムを解く(クラメールの規則を参照) ために使用されます。

n  ×  n行列Aには、次の関係で定義される 固有ベクトル xと固有値 λがあります。

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

言葉で言えば、Aとそれに続く固有ベクトルx (ここではn次元の列行列)の行列乗算は、固有ベクトルと固有値の乗算と同じです。n  ×  n行列の場合、 n 個の固有値が存在します。固有値は特性多項式の根です。

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$

ここでIはn  ×  nの 単位行列です。

多項式の根、この文脈では固有値は、すべて異なる場合もあれば、一部が等しい場合もあります (この場合、固有値は重複度、つまり固有値が出現する回数を持ちます)。固有値を解いた後、定義方程式によって、固有値に対応する固有ベクトルを見つけることができます。

2つのn  ×  n行列AとBは、相似変換によって関連付けられる場合、相似である。

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}}$

行列P は類似行列と呼ばれ、必然的に逆行列となります。

LU 分解は、行列を上三角行列と下三角行列の行列積に分割します。

行列はベクトル空間を形成するため、特定の行列の「サイズ」を定義する公理（ベクトルの公理に類似）を形成できます。行列のノルムは正の実数です。

M _mn ( F )内のすべての行列AとB 、およびF内のすべての数αについて、二重の縦棒|| ... ||で区切られた行列ノルムは次式を満たす: ^[注1]

• 非負:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|\geq 0}$

等式はA = 0、つまり零行列の場合にのみ成立します。

• スカラー乗算:

${\displaystyle \|\alpha \mathbf {A} \|=|\alpha |\|\mathbf {A} \|}$

• 三角不等式:

${\displaystyle \|\mathbf {A} +\mathbf {B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$

フロベニウスノルムはユークリッドベクトルのドット積に似ています。行列の要素をエントリごとに乗算し、結果を合計して、正の平方根を取ります。

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(A_{ij})^{2}}}}$

これは任意の次元の行列に対して定義されます (つまり、正方行列に制限はありません)。

行列要素は定数に限定されず、数学的な変数にすることもできます。

行列の関数は行列を受け取り、何か他のもの (数値、ベクトル、行列など) を返します。

行列値関数は何か（数値、ベクトル、行列など）を受け取り、行列を返します。

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• オペレータのスペクトル
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• 直交行列、ユニタリ行列
• 対称行列、反対称行列
• 確率行列

• 行列多項式
• 行列指数

• C. マイヤー (2000)。行列解析と応用線形代数の本と解答集。第 2 巻。SIAM。ISBN 089-871-454-0。
• TS Shores (2007)。応用線形代数と行列解析。数学学部テキスト。Springer。ISBN 978-038-733-195-9。
• ラジェンドラ・バティア (1997)。マトリックス分析。マトリックス分析シリーズ。第 169 巻。Springer。ISBN 038-794-846-5。
• アラン・J・ラウブ（2012 ）。計算行列解析。SIAM。ISBN 978-161-197-221-4。