交差点

数学において、 2つ以上のオブジェクトの共通部分とは、それらすべてのオブジェクトに同時に含まれるすべての要素からなる別のオブジェクトのことです。例えば、ユークリッド幾何学では、平面上の2つの直線が平行でない場合、それらの交点は交わる点です。より一般的には、集合論において、集合の共通部分は、それらすべての集合に属する要素の集合として定義されます。

交点は集合的にも個別にも考えることができます。後者の例については、「交点（幾何学）」を参照してください。上記の定義は集合的な見方を例示しており、交点演算は常に明確に定義され、一意であるものの、場合によっては空集合となる数学的対象の集合をもたらします。対照的に、個別の見方では、この集合の個々の要素に焦点を当てます。この見方では、図に示されている円と直線の2つの交点のように、交点は一意である必要はありません。同様に、ユークリッド幾何学における2つの平行だが異なる直線間の交点のように、（個別の）交点が存在する必要はありません。

交点は幾何学の基本概念の一つです。交点は様々な幾何学的形状をとりますが、平面幾何学では点が最も一般的です。交点幾何学では、交点（通常は平面の交点）を、元の各オブジェクトに隣接する低次元のオブジェクトとして定義します。このアプローチでは、平行線のように交点が定義されない場合もあります。どちらの場合も、交点の概念は論理積に基づいています。代数幾何学は、交点理論を用いて独自の方法で交点を定義します。

2 つの集合AとBの共通部分は、 AとB の両方に含まれる要素の集合です。正式には、

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ かつ }}x\in B\}}$[ ^{1 ]​}

例えば、${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$そして${\displaystyle B=\{1,2,4,6\}}$、 それから${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$より詳細な例（無限集合を含む）は次のとおりです。

${\displaystyle A=\{x:{\text{ x は偶数である}}\}}$

${\displaystyle B=\{x:{\text{ x は 3 で割り切れる整数 }}\}}$$\displaystyle {\text{ 、それから}}}$

${\displaystyle A\cap B=\{6,12,18,\dots \}}$

別の例として、5は素数の集合{2, 3, 5, 7, 11, …}と偶数の集合{2, 4, 6, 8, 10, …}の共通部分には含まれません。なぜなら、 5は素数ではありますが、偶数ではないからです。  

集合には空の共通部分が存在する可能性があります。たとえば、${\displaystyle A=\{Amy,\,Aaron,\,Arjun\}}$そして${\displaystyle B=\{Barack,\,Bas,\,Betty\}}$、 それから${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$このような集合は互いに素な集合と呼ばれ、口語的には共通部分を持たないと言われる。

交差は、 Unicode 数学演算子のU+2229 ∩ INTERSECTIONで表されます。

記号U+2229 ∩ INTERSECTION は、ヘルマン・グラスマンが1844 年の Die Ausdehnungslehreで、交差に特化したものではなく、一般的な演算記号として初めて使用しました。そこから、ジュゼッペ・ペアノ(1858–1932) が 1888 年のCalcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmannで交差に使用しました。^{[ 2 ] [ 3 ]}

ペアノは、 1908年の著書『Formulario mathematico』の中で、2つ以上のクラスの一般的な共通部分と和集合を表す大きな記号も作成した。^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 構成的立体幾何学、ブール交差は、2D/3D形状を組み合わせる方法の1つです。
• 次元拡張9交点モデル
• （格子理論）
• 交差（集合論）
• 和集合（集合論）

• ワイススタイン、エリック W. 「交差点」 . MathWorld .