磁気空間群

固体物理学において、磁気空間群、またはシュブニコフ群は、結晶の対称性を空間と電子スピンなどの2値特性の両方で分類する対称群です。このような特性を表すために、各格子点は黒または白に色付けされ、^{[1]通常の3次元}対称操作に加えて、すべての黒い格子点を白に、すべての白い格子点を黒にする、いわゆる「反対称」操作があります。したがって、磁気空間群は、空間対称性のみを記述する 結晶空間群の拡張として機能します。

磁気空間群を結晶構造に適用する動機は、キュリーの原理です。磁気空間群によって記述される物質の対称性との適合性は、強磁性、強誘電性、トポロジカル絶縁性など、さまざまな物質特性の必要条件です。

大きな一歩となったのはハインリッヒ・ヘーシュの研究で、彼は1929年と1930年の一連の論文の中で初めて厳密に反対称性の概念を確立した。^{[2] [3] [4] [5]}この反対称性の操作を32の結晶点群に適用すると、合計122の磁気点群が得られる。^{[6] [7]}しかし、ヘーシュは各磁気点群を正しく配置したにもかかわらず、その研究は不明瞭なままで、点群は後にタヴガーとザイツェフによって再導出された。^{[8]この概念は、シュブニコフによって}色の対称性の観点からさらに詳しく研究された。^[9]これを空間群に適用すると、その数は通常の230の3次元空間群から1651の磁気空間群に増加し、^{[10] 1953年の}アレクサンドル・ザモルザエフの論文に記載されている。^{[11] [12] [13]}磁気空間群はもともと幾何学を使って発見されましたが、後に同じ磁気空間群が生成セットを使っても発見できることが示されました。^[14]

磁気空間群は 3 つのカテゴリに分類できます。まず、230 の無色群は空間対称性のみを持ち、結晶学的空間群に対応します。次に 230 の灰色群があり、反対称性に対して不変です。最後に、1191 の白黒群があり、より複雑な対称性を持ちます。磁気空間群に名前を付ける一般的な規則が 2 つあります。それらは、Opechowski-Guccione ( Wladyslaw Opechowskiと Rosalia Guccione にちなんで命名) ^[15]と Belov-Neronova-Smirnova ^[10]です。無色群と灰色群の場合、規則では同じ名前が使用されていますが、白黒群の扱いが異なります。磁気空間群の完全なリスト (両方の規則) は、元の論文とオンライン上のいくつかの場所の両方で見つけることができます。^{[16] [17] [18]}

これらのタイプは、その異なる構成によって区別できます。^[19]タイプI磁気空間群は、通常の空間群と同一です。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{I}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{I}=G}$

タイプ II 磁気空間群 は、結晶空間群 のすべての対称操作と、それらの操作と時間反転操作 の積から構成されます。同様に、これは通常の空間群と点群 の直積と見ることができます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{II}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle 1'}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{II}=G+{\mathcal {T}}G}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{II}=G\times 1'}$

タイプ III 磁気空間群 は、指数2の のサブグループである群 を使用して構築されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{III}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{III}=H+{\mathcal {T}}(G-H)}$

タイプIV磁気空間群は、純粋な平行移動（ゼロ回転を表すザイツ記法^[20] ）と平行移動を用いて構築されます。ここで は、黒色の点から白色の点、またはその逆を指す ベクトル（通常は分数座標で表されます）です。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{IV}}$${\displaystyle \{E|t_{0}\}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{IV}=G+{\mathcal {T}}\{E|t_{0}\}G}$

次の表は、122 個の 3 次元磁気点群のすべてをリストしたものです。これは、次の表のヘルマン・モーガン記法の短縮版で示されています。ここで、対称操作にアポストロフィを追加することで、対称要素と反対称操作の組み合わせが構造の対称性であることを示します。32 個の結晶点群、32 個のグレー グループ、および 58 個の磁気点群があります。 ^[21]

強磁性と互換性のある磁気点群はシアン色、強誘電性と互換性のある磁気点群は赤色、強磁性と強誘電性の両方と互換性のある磁気点群は紫色で示されている。^[22]強磁性と互換性のある磁気点群は 31 個ある。これらの群は、許容可能とも呼ばれ、点群の操作によってスピンの少なくとも 1 つの成分が不変となる。強誘電性と互換性のある点群は 31 個ある。これらは結晶学的極性点群の一般化である。理論的に提案された強誘電性 (ferrotorodicity)と互換性のある点群も 31 個ある。同様の対称性の議論は、磁気電気や圧電性などの他の電磁気材料特性にも拡張されている。^[23]

次の図は、ほとんどの磁気点群を平面上に立体投影したものです。灰色の点群は示されていませんが、これは反対称操作に対して不変であることを除いて、通常の結晶学の点群と同一に見えます。

黒白ブラヴェ格子は、典型的なブラヴェ格子と同様に構造の並進対称性を特徴づけるが、追加の対称要素も含む。黒白ブラヴェ格子では、黒と白のサイトの数は常に等しい。^[24]伝統的なブラヴェ格子が14個、灰色の格子が14個、黒白ブラヴェ格子が22個あり、3次元には合計50個の2色格子がある。^[25]

この表には、14 個の従来のブラヴェ格子を含み、従来の格子と同一に見える 14 個の灰色の格子を除いた 36 個の白黒ブラヴェ格子が示されています。格子記号は、従来のブラヴェ格子に使用されるものです。記号の接尾辞は、格子内の黒色 (反対称) 点によるセンタリング モードを示します。s はエッジセンタリングを表します。

磁気秩序の周期性が結晶学的秩序の周期性と一致する場合、磁気相は整合的であると言われ、磁気空間群によってうまく記述できます。しかし、そうでない場合、秩序はどの磁気空間群にも対応しません。これらの相は、不整合秩序を記述する磁気超空間群によって記述できます。 ^{[29]これは、いくつかの}準結晶の秩序を記述するためによく使用される形式論と同じです。

ランダウの二次相転移理論は磁気相転移にも応用されている。無秩序構造の磁気空間群 は、秩序相の磁気空間群 に遷移する。はのサブグループであり、相転移中に破れなかった対称性のみを保持する。 これは、の単一の既約表現に属する秩序パラメータの発展によって数値的に追跡することができる。^[30]${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$

重要な磁気相転移には、キュリー温度での常磁性から強磁性への転移と、ネール温度での常磁性から反強磁性への転移がある。磁気相転移の違いは、なぜFe ₂ O ₃、MnCO ₃、CoCO ₃が弱い強磁性であるのに対し、構造的に類似したCr ₂ O ₃とFeCO ₃が純粋に反強磁性であるかを説明できる。^{[31]この理論は現在では}反対称交換理論として知られている。

関連する体系として、アイズ種の分類がある。アイズ種は、原型的な非強磁性磁性点群（強磁性を表す文字「F」）と、結晶構造中の原子の連続的な運動によって到達できる原型群のサブグループである強磁性または強誘電点群から構成される。^{[32] [33]}

これらの空間群の主な応用は磁気構造であり、黒/白の格子点は電子スピンのスピンアップ/スピンダウン構成に対応します。より抽象的に、磁気空間群は時間反転対称性を表すものと考えられることが多い。^{[34]これは時間}並進対称性を持つ時間結晶とは対照的です。最も一般的な形式では、磁気空間群は、正/負の電荷や電気双極子モーメントの配置など、任意の2つの値を持つ格子点特性の対称性を表すことができます。磁気空間群は、材料の電子バンド構造に制限を課します。具体的には、異なる電子バンドの接続性に制限を課し、それが今度は材料が対称性保護された位相的秩序を持つかどうかを定義します。したがって、磁気空間群は、トポロジカル絶縁体などのトポロジカル材料を識別するために使用できます。^{[35] [36] [37]}

実験的には、磁気空間群に関する情報の主な情報源は中性子回折実験である。得られた実験プロファイルは、リートベルト法^[38]またはシミュレーテッドアニーリング法^[39]によって理論構造と一致させることができる。

2値対称性を加えることは、芸術的なパターンを分類するためによく使われるフリーズグループにも役立つ概念です。その場合、色の反転が追加された7つのフリーズグループは、24の色反転フリーズグループになります。 ^[40]単純な2値特性を超えて、このアイデアは3次元の3色にさらに拡張され、^[41]さらに高次元とより多くの色にまで拡張されました。^[42]

• 空間群
• 磁気構造
• 群論

• 「MAGNDATA: ポータブルな cif タイプのファイルを備えた磁気構造のコレクション」。バスク大学。2020 年 1 月 22 日閲覧。
• 「中性子回折によって決定された磁気構造のデータベース」AGH科学技術大学。 2020年1月22日閲覧。