Loading article…
多色対称性は、3色以上の色を対称的なパターンで入れ替える色対称性です。これは二色対称性の自然な拡張です。色対称グループは、位置座標（2次元ではxとy 、3次元ではx、y、z）に、3つ以上の可能な値（色）を取る追加の座標kを追加することによって導出されます。[1]
多色対称性の応用例としては、三重項状態、つまり電子スピンの大きさが 1 である分子またはイオンを含む物質の結晶が挙げられます。これらのグループのスピンが局所磁場に + 1、0、-1 の投影を持つ構造を持つことがあります。これらの 3 つのケースが規則的な配列で同じ頻度で存在する場合、そのような結晶の磁気空間群は3 色になります。[2] [3]
例
グループp3には、順序 3 (120°) の 3 つの異なる回転中心がありますが、反射やすべり反射はありません。
p3パターンを3色で着色する方法には、p3 [3] 1とp3 [3] 2の2種類があります。ここで、角括弧内の数字は色の数を示し、下付き文字は色付きパターンが複数ある場合を区別します。[5]
パターンp3 [3] 1の単一のモチーフを取り上げると、アニメーションに示すように、120°の回転と白、緑、赤の3色の循環的な順列からなる対称操作3'が実行されます。
このパターンp3 [3] 1は、MCエッシャーの「動物の六角形のモザイク模様：爬虫類による平面の規則的な分割の研究」 （1939年）と同じ色の対称性を持っています。エッシャーは1943年のリトグラフ「爬虫類」でこのデザインを再利用し、モット・ザ・フープルのデビューアルバムのカバーアートにも使用されました。
群論
Wittke と Garrido (1959) [7]および Niggli と Wondratschek (1960) [8]による初期の研究では、物体の色群と物体の幾何学的対称群のサブグループとの関係が特定されました。1961 年にvan der WaerdenとBurckhardt [9]は、以前の研究を基に、色群は次のように定義できることを示しました。パターン (または物体) の色群では、その幾何学的対称操作sのそれぞれがk色の順列σに関連付けられ、すべてのペア ( s , σ ) がグループを形成します。Senechalは、順列が無色パターンの幾何学的対称群Gのサブグループによって決定されることを示しました。 [10] Gの各対称操作が一意の色順列に関連付けられている場合、パターンは完全に色付けされていると言われます。[11] [12]
ワーデン＝ブルクハルト理論は、k色群G ( H )は対称群Gの指数kの部分群Hによって決定されると定義する。[13]部分群Hが正規部分群である場合、商群G / Hはすべての色を置換する。[14]
歴史
- 1956ベロフと彼の同僚は、二色対称群ではなく多色対称群に関する最初の論文を発表した。 [15] [16] [17] [18] [19] [20]ヴァインシュタインとコプツィク（1994）はロシアの研究を要約している。[21]
- 1957年、マッケイはロシア語の作品の最初のレビューを英語で出版しました。[22]その後のレビューは、コプツィク（1968年）、[23] シュヴァルツェンベルガー（1984年）、[24]グリュンバウムとシェパードの『タイルとパターン』（1987年）、[4]セネシャル（1990年）[10]、トーマス（2012年）によって出版されました。[25]
- 1950年代後半、二色および多色のパターンに基づいたMCエッシャーの芸術作品は、科学者の間で色の対称性を普及させました。[26] [27]
- 1961年、ファン・デル・ワールデンとブルクハルトは、色の数や次元に関係なく、群論の観点から色の対称性を明確に定義しました。 [9]
- 1964年シュブニコフとベロフの『Colored Symmetry』の英訳初出版[28]
- 1971年、ロエブは「色と対称性」の中で、回転中心を用いた2次元色対称構成を導出した。[29]
- 1974年、シュブニコフとコプツィクが多色対称性を広範囲に扱った『科学と芸術における対称性』を出版。 [30]
- 1983年、セネシャルは群論を用いて多面体を対称的に着色する問題を研究した。[13] [31]クロムウェルは後にアルゴリズム的カウントアプローチを採用した（1997年）。[32]
- 1988年、ウォッシュバーンとクロウは、文化的なパターンや物体に色の対称性分析を適用しました。[33]ウォッシュバーンとクロウは、マコビッキーなどのさらなる研究に影響を与えました。[34]
- 1997年、リフシッツは色の対称性の理論を周期結晶から準周期結晶に拡張した。[35]
- 2008年、コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝シュトラウスは、オービフォールドに基づく新しい表記法を使用して、色付き物体の色を保存する対称性を説明した「The Symmetries of Things」を出版した。[36]
色グループの数
上記の例のセクションには、 3 色のp3パターンの両方、固有の 4 色、6 色、7 色のp3パターン、3 つの 9 色のp3パターンのうちの 1 つ、および 4 つの 12 色のp3パターンのうちの 1 つが示されています。
参考文献
- ^ Bradley, CJ および Cracknell, AP (2010).固体の対称性の数学的理論: 点群と空間群の表現理論、Clarendon Press、オックスフォード、677–681、ISBN 9780199582587
- ^ Harker, D. (1981).三色三次元空間群、Acta Crystallogr.、A37、286-292、doi :10.1107/s0567739481000697
- ^ Mainzer, K. (1996). Symmetries of nature: a handbook for philosophy of nature and science、de Gruyter、ベルリン、162-168、ISBN 9783110129908
- ^ abcd Grünbaum, B. および Shephard, GC (1987)。『タイルとパターン』、WH Freeman、ニューヨーク、ISBN 9780716711933
- ^ Hann, MA および Thomas, BG (2007).白黒を超えて: 3 色反転パターンに関するメモ、J. Textile Inst.、98 (6)、539-547、doi :10.1080/00405000701502446
- ^ abc Wieting, TW (1982).色彩平面装飾の数学的理論、Marcel Dekker、ニューヨーク、ISBN 9780824715175
- ^ Wittke O. および Garrido J. (1959)。Symétrie des Polyèdres Polychromatiques、雄牛。社会フランセーズ・ド・ミネラル。 ｅｔ ｄｅ Ｃｒｉｓｔ．、８２（７−９）、２２３−２３０；土井：10.3406/bulmi.1959.5332
- ^ Niggli, A. および Wondratschek, H. (1960)。Eine Verallgemeinerung der Punktgruppen。 I. Die einfachen Kryptosymmetrien、Z. Krist.、114 (1-6)、215-231 doi :10.1524/zkri.1960.114.16.215
- ^ ab van der Waerden、BL および Burkhardt、JJ (1961)。Farbgruppen、Z. Krist、115、231-234、doi :10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
- ^ ab Senechal, M. (1990).幾何結晶学、結晶学の歴史的地図集、Lima-de-Faria, J. 編、Kluwer、ドルドレヒト、52-53、ISBN 9780792306498
- ^ セネシャル、M. (1988)。色の対称性、Comput. Math. Applic.、16 (5-8)、545-553、doi :10.1016/0898-1221(88)90244-1
- ^ セネシャル、M. (1990)。結晶対称性：非公式な数学的入門、アダム・ヒルガー、ブリストル、74-87、ISBN 9780750300414
- ^ ab Senechal, M. (1983).色の対称性と色付き多面体、Acta Crystallogr.、A39、505-511、doi :10.1107/s0108767383000987
- ^ Coxeter, HSM (1987).色対称性の簡単な紹介、Int. J. Quantum Chemistry、31、455-461、doi :10.1002/qua.560310317
- ^ Belov, NV および Tarkhova, TN (1956).色対称群, Sov. Phys. Cryst. , 1 , 5-11
- ^ Belov, NV および Tarkhova, TN (1956).色対称群、Sov. Phys. Cryst. 、1、487-488
- ^ Belov, NV (1956).中世のムーア人のパターンと対称群、Sov. Phys. Cryst. 、1、482-483
- ^ Belov, NV (1956).色付き対称性を持つ3次元モザイク、Sov. Phys. Cryst. 、1、489-492
- ^ Belov, NV および Belova, EN (1956). 46 平面 (Shubnikov) 反対称群および 15 色群 (Fedorov) のモザイク、Sov. Phys. Cryst. 、2、16-18
- ^ Belov, NV, Belova, EN and Tarkhova, TN (1959).色対称群についての詳細、Sov. Phys. Cryst., 3 , 625-626
- ^ Vainshtein, BK および Koptsik, VA (1994)。現代結晶学。第 1 巻。結晶の基礎: 対称性、および構造結晶学の方法、Springer、ベルリン、158-179、ISBN 9783540565581
- ^ Mackay, AL (1957).空間群理論の拡張、Acta Crystallogr. 10、543-548、doi :10.1107/s0365110x57001966
- ^ Koptsik, VA (1968).対称性理論の発展と過去50年間の物理結晶学への応用の概要、Sov. Phys. Cryst.、12 (5)、667-683
- ^ Schwarzenberger, RLE (1984).色の対称性、Bull. London Math. Soc.、16、209-240、doi :10.1112/blms/16.3.209、doi :10.1112/blms/16.3.216、doi :10.1112/blms/16.3.229
- ^ Thomas, BG (2012). 「色の対称性: パターンとタイリングの体系的な配色」 『カラーデザイン』 、ベスト、J.編、ウッドヘッド出版、381-432、ISBN 9780081016480
- ^ MacGillavry, CH (1976). MC Escher の周期的描画の対称性の側面、国際結晶学連合、ユトレヒト、ISBN 9789031301843
- ^ Schnattschneider、D. (2004)。MC エッシャー: 対称性のビジョン、ハリー。 N. エイブラムス、ニューヨーク、ISBN 9780810943087
- ^ シュブニコフ、AV、ベロフ、ネバダ州ほか。アル。 （1964年）。色の対称性、編。 WT ホルサー、ペルガモン、ニューヨーク
- ^ ロエブ、AL (1971)。色と対称性、ワイリー、ニューヨーク、ISBN 9780471543350
- ^ Shubnikov, AV および Koptsik, VA (1974). Symmetry in science and art、Plenum Press、ニューヨーク、ISBN 9780306307591 (原著はロシア語で、モスクワの Nauka 社から 1972 年に出版)
- ^ Senechal, M. (1983).対称的な物体を対称的に着色する, Math. Magazine, 56 (1), 3-16, doi :10.2307/2690259
- ^ クロムウェル、PR（1997年）。多面体、ケンブリッジ大学出版局、327-348、ISBN 9780521554329
- ^ Washburn, DK および Crowe, DW (1988)。Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis、Washington University Press、シアトル、ISBN 9780295970844
- ^ Makovicky, E. (2016).古典巨匠たちの目を通して見る対称性、de Gruyter、ベルリン、133-147、ISBN 9783110417050
- ^ Lifshitz, R. (1997).周期的および準周期的結晶の色対称性の理論、Rev. Mod. Phys.、69 (4)、1181–1218、doi :10.1103/RevModPhys.69.1181
- ^ Conway, JH, Burgeil, H. and Goodman-Strauss, C. (2008). The symmetries of things、AK Peters、Wellesley、MA、 ISBN 9781568812205
- ^ Jarratt, JD および Schwarzenberger, RLE (1980).色平面群、Acta Crystallogr.、A36、884-888、doi :10.1107/S0567739480001866