二色対称性

二色性対称性^[1]は、反対称性^[2]、^[3]白黒対称性^[4] 、磁気対称性^[5] 、反転対称性^[6]、または二色性対称性^[7]とも呼ばれ、物体をその反対の物体に反転させる対称操作である。^[8]より正確な定義は、「反対称性の操作は、与えられた特性の2つの可能な値を持つ物体を、ある値から別の値に変換する」である。^[9]二色性対称性は、特に2色の対称性を指す。これは3色以上に拡張することができ、その場合は多色性対称性と呼ばれる。^[10]二色性対称性および多色性対称性の一般的な用語は、単に色対称性である。二色性対称性は、磁性結晶を記述するために使用され、また、 2値の対称操作を必要とする時間反転^[12]^などの物理学の他の分野でも使用される。

例

簡単な例としては、三角形などの白いオブジェクトに色の変更を適用して、黒い三角形を作成するというものがあります。もう一度色の変更を適用すると、元の白い三角形に戻ります。

ここでは反同一性操作（1'）と呼ばれる色の変化は、2回実行すると同一性操作（1）をもたらす。

もう1つの例は、鏡面反射（m）と反同一性演算（1'）を任意の順序で実行して、反鏡面反射（m'）を構築することである。

m' 演算は、二色三角形の反対称点群3m'を構築するために使用できます。

二色三角形には鏡映 (m) 操作はありません。これは、すべての小さな構成要素の三角形が白色である場合に行われる操作です。ただし、反鏡映 (m') 操作を導入すると、完全な二面体 D3対称性が復元されます。二色 D3 (3m') 点群を構成する 6 つの操作は次のとおりです。

アイデンティティ $$
$2 π /3$ ( $r$ )回転
$4π$ $/$ $3$ （ $r2$ ）回転 $$
反鏡面反射（ $m'$ ）
$m'$ と $r$ の組み合わせ（ $m'r$ ）
$m'$ と $r 2$ の組み合わせ（ $m'r 2$ ）。

頂点番号は、操作対象の三角形の一部を形成するものではないことに注意してください。頂点番号は、各操作の後に頂点がどこに配置されるかを追跡するために表示されます。

歴史

1930年、ハインリヒ・ヘーシュは4次元における3次元空間群の検討という文脈で反対称操作を正式に提唱した最初の人物となった。 ^[13]ヘーシュの研究はウェーバーの1929年の2次元バンドの白黒着色に関する論文に影響を受けた。^[14]

1935年から1936年にかけて、HJウッズは「パターンデザインの幾何学的基礎」と題する4つの論文シリーズを発表しました。最後の論文^[15]は対称性反転に焦点を当てており、その中で初めて46個の2色2D点群が導き出されました。

ヘーシュとウッズの研究は当時は影響力がなく、二色対称性の主題が重要になり始めたのは、 1951 年にAV シュブニコフの著書『有限図形の対称性と反対称性』が出版されてからでした。その後、この主題は磁気構造やその他の物理分野における重要性から、最初はロシアで、その後は他の多くの国でも急速に発展しました。

1951年、ランダウとリフシッツは、時間反転対称性に対応するように黒と白の色を再解釈した^[16]
1953年ザモルザエフは1651の3次元反対称空間群を初めて導出した^[17]^[18]
1956年、タヴガーとザイツェフは磁気モーメントのベクトル反転の概念を用いて磁性結晶の点群を導出した^[19]
1957年ベロフと彼の同僚は独立に2次元と3次元の反対称群を導出した^[20]
1957年ザモルザエフとソコロフは、2値反対称演算の複数の種類の概念を導入し、反対称性の一般化を開始した^[11]^[21]^[22]^[23]
1957年、マッケイはロシア語の作品の最初のレビューを英語で出版しました。^[9]その後のレビューは、ホルサー（1961年）、^[24] コプツィク（1968年）、^[25] シュヴァルツェンベルガー（1984年）、^[26]グリュンバウムとシェパードのタイリングとパターン（1987年）、^[27]ブリュックラーとスティリノヴィッチ（2024年）^[28]によって出版されました。
1950年代後半、二色性および多色のパターンに基づいたMCエッシャーの芸術作品は、科学者の間で色の対称性を普及させた^[29]^[30]
1961ファン・デル・ワールデンとブルクハルトは、色の数や次元に関係なく、群論の観点から色の対称性を明確に定義した^[31]
1964年シュブニコフとベロフの『Colored Symmetry』の英訳版が初出版^[3]
1965年、ヴワディスワフ・オペホフスキーとロザリア・グッチオーネは、二色性3次元空間群の完全な導出と列挙を行った^[32]
1966年コプツィクによる二色3次元空間群の完全地図の出版^[33] (ロシア語)
1971ロエブによる回転中心を用いた2次元色対称構成の導出^[1]
1974年シュブニコフとコプツィクによる1次元、2次元、3次元の二色対称性を広範囲にカバーした「科学と芸術における対称性」の出版^[34]
1988年ウォッシュバーンとクロウは、文化的なパターンや物体に色彩対称性分析を適用した^[35]
2008年、コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝シュトラウスは、オービフォールドに基づく新しい表記法を使用して、色付き物体の色保存対称性を記述した「The Symmetries of Things」を出版した^[36]

次元数

下の表は次元ごとの通常群と二色群の数を示しています。ボーム^[37]記号は群の数を表すのに使われます。ここで= 全体の次元、= 格子次元、= 反対称操作の種類の数です。単一の反対称操作を持つ二色群の場合。 $G_{ol}^{a}$ $o$ $l$ $a$ $a=1$

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