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理論物理学、特に重力理論の議論において、マッハの原理（またはマッハの予想[ 1 ] ）は、物理学者で哲学者のエルンスト・マッハに帰せられることが多い不正確な仮説にアルバート・アインシュタインが与えた名前である。この仮説は、ジャイロスコープや回転する天体などの回転する物体がどのようにして基準系を維持するかを説明しようとした。
この命題は、絶対回転の存在（局所慣性系と回転参照系の区別）は、この逸話で例示されるように、物質の大規模な分布によって決定されるというものである。[ 2 ]
あなたは野原に立って星空を見上げています。両腕は体の横に自然に垂れ下がっており、遠くの星は動いていないように見えます。さあ、回転を始めましょう。星はあなたの周りをぐるぐる回り、あなたの腕は体から引き離されます。星が回転しているのに、なぜ腕は引き離されるのでしょうか？星が動いていないのに、なぜ腕は自由にぶら下がっているのでしょうか？[ a ] [ 2 ]
マッハの原理によれば、これは偶然ではなく、遠方の星の運動と局所的な慣性系を関連付ける物理法則が存在する。もしあなたがすべての星があなたの周りを回転しているのを見たら、マッハは、遠心力を感じるような物理法則が存在すると示唆している。この原理には多くの対立する定式化があり、しばしば「外の質量がここでの慣性に影響を与える」といった曖昧な表現で述べられている。マッハの原理の非常に一般的な表現は、「局所的な物理法則は宇宙の大規模な構造によって決定される」である。[ 3 ]
マッハの概念は、アインシュタインが一般相対性理論を発展させる上で指針となる要素でした。アインシュタインは、物質の全体的な分布が、回転に対して静止しているフレームを示す計量テンソルを決定することを認識していました。フレームドラッギングと重力角運動量の保存により、これは特定の解において一般理論で正しい記述となります。しかし、この原理は非常に曖昧であるため、マッハの原理として認められる多くの異なる記述がなされてきましたが、その中には誤りもあります。ゲーデル回転宇宙は、マッハの原理に最悪の形で反するように設計された場の方程式の解です。この例では、遠ざかるにつれて遠くの星がますます速く回転しているように見えます。この例は閉じた時間的曲線を持つため、原理の物理的妥当性の問題を完全に解決するものではありません。
マッハはこの考えを著書『力学の科学』 （ドイツ語版1883年、英語版1893年）で提唱した。マッハの時代以前にも、この基本的な考えはジョージ・バークレーの著作にも見られる。[ 4 ]マッハ以降、ベネディクト・フリードレンダーとその弟イマヌエルによる著書『絶対運動か相対運動か？』（1896年）には、マッハの原理に似た考えが含まれていた。
相対性理論には根本的な問題がある。すべての運動が相対的であるならば、物体の慣性をどのように測定すればよいのだろうか？慣性は、何らかの基準となるものに対して測定しなければならない。しかし、宇宙の中で完全に孤立した粒子を想像してみたらどうだろうか？それでも、その粒子の運動状態について何らかの概念を得られるかもしれない。マッハの原理は、そのような粒子の運動状態は、その場合には意味を持たないという主張として解釈されることがある。
マッハの言葉によれば、その原理は次のように具体化される。[ 5 ]
研究者は、宇宙の質量といった直接的なつながりについての知識の必要性を感じなければならない。そうすれば、加速運動と慣性運動が同じように生じる、物質全体の原理に関する理想的な洞察が彼の前に浮かび上がるだろう。
アルバート・アインシュタインはマッハの原理を次のようなものだと考えていたようだ。[ 6 ]
慣性は物体間の相互作用の一種から生じる。
この意味で、マッハの原理の少なくとも一部は哲学的全体論と関連している。マッハの提案は、重力理論は関係論的理論であるべきだという命令と解釈できる。アインシュタインは一般相対性理論の研究中にこの原理を主流物理学に取り入れた。実際、 「マッハの原理」という言葉を最初に用いたのはアインシュタインである。マッハはそれを明示的に述べていないため、彼が本当に新しい物理法則を提案しようとしていたのかどうかについては多くの議論がある。
アインシュタインがインスピレーションを得たのは、マッハの著書『力学の科学』（1883年、1893年翻訳）であり、その中でマッハはニュートンの絶対空間の概念、特にニュートンが有利な基準系の存在を主張するために用いた議論、一般に「ニュートンのバケツ論法」と呼ばれるものを批判した。
ニュートンは著書『自然哲学の数学的原理』の中で、絶対空間に対して回転しているかどうかを常に判断できることを実証しようと試みました。それは、絶対回転が行われた場合にのみ生じる見かけ上の力を測定することによってです。バケツに水を満たして回転させると、最初は水は静止していますが、徐々に容器の壁がその動きを水に伝え、回転によって生じる遠心力のために水はバケツの縁に沿って曲がり、上昇します。この実験は、遠心力が絶対空間（ここでは地球の基準系、あるいはより正確には遠方の星系で表される）に対して水が回転している場合にのみ生じることを示しています。一方、バケツが水に対して回転している場合は遠心力は生じず、これは水が絶対空間に対して静止していることを示しています。
マッハは著書の中で、バケツの実験は、水がバケツに対して回転しているときには遠心力が生じないことを示しているにすぎず、実験でバケツの壁を深さと幅をリーグ単位の大きさにまで増やした場合、水がどのように振る舞うかは分からないと述べている。マッハの考えでは、この絶対運動の概念は、あらゆる運動（等速運動であろうと加速運動であろうと）が他の物体との関連においてのみ意味を持つという完全な相対主義に置き換えられるべきである（つまり、水が回転していると単純に言うことはできず、容器に対して回転しているのか、地球に対して回転しているのかを明記しなければならない）。この見方では、相対運動と「絶対」運動を区別することを可能にするように見える見かけ上の力は、私たちが運動していると考える小さな物体（バケツなど）と、静止していると考える物体（地球や遠方の星など）（後者は前者よりも圧倒的に大きく重い）との間の、私たちの参照系における特定の非対称性の影響としてのみ考えるべきである。
同じ考えは、哲学者ジョージ・バークリーが『運動論』の中で述べていた。したがって、先ほど述べたマッハの文章では、哲学者が重い物体間の新しいタイプの物理的作用を定式化しようとしていたかどうかは明らかではない。この物理的メカニズムは、宇宙の重くて遠い物体が慣性力に最も大きく寄与するように、物体の慣性を決定するはずである。より可能性が高いのは、マッハが単に「空間という用語を呼び起こさない経験として空間における運動を再記述する」ことを提案しただけであるということである。[ 7 ]確かなことは、アインシュタインがマッハの文章を前者の方法で解釈し、長きにわたる議論を引き起こしたということである。
ほとんどの物理学者は、マッハの原理は、星がそのような効果をもたらすメカニズムを説明する定量的な物理理論に発展することはなかったと考えている。マッハ自身も、その原理を正確に明確にすることはなかった。[ 7 ]： 9-57アインシュタインはマッハの原理に興味を持ち、刺激を受けたが、アインシュタインによるその原理の定式化は一般相対性理論の基本的な仮定ではない。ただし、重力質量と慣性質量の等価性の原理は間違いなく基本的なものである。
距離と時間の直観的な概念がもはや適用されないため、一般相対性理論における「マッハの原理」が正確に何を意味するのかは、ニュートン力学よりもさらに不明瞭であり、マッハの原理の定式化は少なくとも 21 通りあり、中には他のものよりもマッハ的であると考えられるものもある。[ 7 ]： 530比較的弱い定式化は、ある場所での物質の運動が、別の場所でどのフレームが慣性であるかに影響を与えるという主張である。
アインシュタインは、一般相対性理論を完成させる前に、マッハの原理の証拠と解釈できる現象を発見しました。概念を単純化するために、固定された背景を仮定し、質量を持つ大きな球殻を構築し、その背景の中で回転させます。この球殻内部の基準系は、固定された背景に対して歳差運動を起こします。この現象は、レンス＝ティリング効果として知られています。アインシュタインはこのマッハの原理の現れに非常に満足し、マッハに宛てて次のような手紙を書きました。
慣性は、ニュートンのバケツ実験に関するあなたの考察と全く同じ意味で、物体間の相互作用の一種から生じることが判明しました。重い物質の殻を、その中心を通る軸を中心に固定星に対して回転させると、殻の内部にコリオリ力が生じます。つまり、フーコー振り子の平面が（実際には測定不可能なほど小さな角速度で）引きずられるのです。[ 6 ]
レンズ・ティリング効果は、「そこにある物質がここの慣性に影響を与える」という非常に基本的で広範な概念を確かに満たしている。[ 8 ]物質の殻が存在しない場合、またはそれが回転していない場合、振り子の平面は引きずられることはないだろう。「慣性は物体間の相互作用の一種から生じる」という記述についても、この効果の文脈では真実であると解釈できる。
しかし、この問題のより根本的な部分は、アインシュタインが「恒星」と表現した固定された背景の存在そのものです。現代の相対論者は、初期値問題にマッハの原理の痕跡を見出しています。本質的に、私たち人間は時空を一定時間のスライスに分割したいと考えているようです。そうすると、アインシュタイン方程式は、各スライスで満たされなければならない方程式のセットと、スライス間を移動する方法を記述する別のセットに分解できます。個々のスライスの方程式は楕円型偏微分方程式です。一般に、これはスライスの幾何学の一部のみが科学者によって与えられることを意味し、それ以外のすべての幾何学はスライス上のアインシュタイン方程式によって決定されます。
漸近的に平坦な時空においては、境界条件は無限遠で与えられる。直感的に言えば、漸近的に平坦な宇宙の境界条件は、慣性が意味を持つ基準となる座標系を定義する。もちろん、遠方の宇宙にローレンツ変換を施すことで、この慣性も変換することができる。
マッハの原理のより強い形式は、空間的にコンパクトで大域的に双曲的である必要があるウィーラー・マッハ・アインシュタイン時空に適用される。このような宇宙では、マッハの原理は、宇宙のある特定の瞬間における物質と場のエネルギー・運動量（および場合によってはその他の情報）の分布が、宇宙の各点における慣性系を決定すると述べることができる（ここで「宇宙のある特定の瞬間」とは、選択されたコーシー面を指す）。[ 7 ]： 188-207
ブランズ＝ディッケ理論やホイル＝ナルリカー重力理論など、よりマッハ的な理論を構築しようとする試みは他にもあったが、ほとんどの物理学者は、いずれも完全には成功していないと主張している。1993年にテュービンゲンで行われた専門家への出口調査で、「一般相対性理論は完全にマッハ的か？」という質問に対し、3人が「はい」、22人が「いいえ」と答えた。「何らかの適切な境界条件を備えた一般相対性理論は非常にマッハ的か？」という質問に対しては、「はい」が14人、「いいえ」が7人であった。[ 7 ]： 106
しかし、アインシュタインは、有効な重力理論には慣性の相対性が必ず含まれなければならないと確信していた。
アインシュタインは当時、慣性の相対性を非常に強く信じており、1918年には、満足のいく重力理論の基礎となるべき3つの原理を同等のものとして述べた。
- 一般共変性によって表現される相対性原理。
- 等価性の原理。
- マッハの原理（この用語が初めて文献に登場した時）：... g µνは物体の質量によって完全に決定され、より一般的にはT µνによって決定される。
1922年、アインシュタインは、他の人々がこの（第三の）基準なしで研究を進めることに満足していることに気づき、「しかし、この満足感は後の世代には理解しがたいものとなるだろう」と付け加えた。
率直に言って、私の知る限り、今日に至るまでマッハの原理は物理学を決定的に前進させてきたとは言えない。また、慣性の起源は、粒子と場の理論において最も難解なテーマであり続けていることも指摘しておかなければならない。したがって、マッハの原理には将来性があるかもしれないが、それは量子論なしにはあり得ないだろう。
—アブラハム・パイス著、『主は微妙なり：アルバート・アインシュタインの科学と生涯』（オックスフォード大学出版局、2005年）、287～288ページ。
1953年、マッハの原理を定量的に表現するために、ケンブリッジ大学の物理学者デニス・W・シアマは、ニュートンの重力方程式に加速度依存項を追加することを提案した。[ 9 ]シアマの加速度依存項はここで、 rは粒子間の距離、Gは重力定数、aは相対加速度、cは真空中の光速を表す。シアマは、加速度に依存する項の効果を慣性誘導と呼んだ。
「あちらの質量がこちら側の慣性に影響を与える」という大まかな概念は、いくつかの形で表現されてきた。ヘルマン・ボンディとジョセフ・サミュエルは、マッハ数から着想を得て、マッハ0からマッハ10までラベル付けされた、マッハ原理と呼ばれる11の異なる記述をリストアップした。[ 10 ]彼らのリストは必ずしも網羅的ではないが、可能な多様性の一端を示している。
まず、じっと立って、両腕を体の横にだらりと垂らしてください。星はほぼ動かず、腕はほぼまっすぐ下に垂れ下がっているのがわかります。次に、くるりと回ってみてください。星は天頂を中心に回転しているように見え、同時に遠心力によって腕が上に引っ張られます。腕が自由に垂れ下がっている慣性系が、たまたま典型的な星が静止している基準系と一致するとしたら、それは確かに驚くべき偶然でしょう。星とあなたの間に、あなたの慣性系を決定する何らかの相互作用がない限りは。[ 2 ]
ウィキクォートにあるマッハの原理に関する引用文
