ロボット工学における線表現

ロボット工学における線表現は、次のような目的で使用されます。

• これらはジョイント軸をモデル化します。回転ジョイントは、接続された剛体をその軸の線を中心に回転させます。直動ジョイントは、接続された剛体をその軸線に沿って移動させます。
• これらは、多くのタスク プランナーやセンサー処理モジュールで使用される多面体オブジェクトのエッジをモデル化します。
• ロボットと障害物間の最短距離計算に必要です。

このような線を使用する場合は、表現方法が明確に定義されるように規則を設定する必要があります。この記事では、これらの方法のいくつかについて説明します。

線は、2 つのベクトルの順序付けられた集合によって完全に定義されます。 ${\displaystyle L(p,d)}$

• 点ベクトル、任意の点の位置を示す${\displaystyle p}$${\displaystyle L}$
• 1 つの自由方向ベクトル。線に方向と意味を与えます。${\displaystyle d}$

線上の各点には、次を満たす パラメータ値が与えられます。パラメータ t は 1 回だけ選択され、一意です。この表現は、4 つの自由度に対して 6 つのパラメータを使用するため、最小限ではありません。次の 2 つの制約が適用されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x=p+td}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$
${\displaystyle L(p,d)}$

• 方向ベクトルは単位ベクトルとして選択できる。${\displaystyle d}$
• 点ベクトルは、原点に最も近い直線上の点として選択することができる。したがって、${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$

Arthur Cayley と Julius Plücker は、2 つの自由ベクトルを使用する代替表現を導入しました。この表現は最終的に Plücker にちなんで名付けられました。Plücker
表現は で表されます。 と は両方とも自由ベクトルです。 は直線の方向を表し、 は選択された基準原点の周りの のモーメントです。 (は直線上の どの点が選択されるかに依存しません!) Plücker 座標の利点は、同次であることです。Plücker 座標の直線は、6 つの独立したパラメータのうち 4 つをまだ持っているため、最小表現ではありません。6 つの Plücker 座標に対する 2 つの制約は次のとおりです。 ${\displaystyle L_{pl}(d,m)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m=p\times d}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p}$

• 均質性制約
• 直交性制約

線の表現は、ユークリッド空間 (E³) 内のすべての可能な線を表現するために必要な最小限の 4 つのパラメータを使用する場合に最小限です。

ジャック・デナビトとリチャード・S・ハルテンバーグは、現在広く使用されている線分の最小表現を初めて提示しました。2本の線間の共通法線は、デナビトとハルテンバーグが最小表現を見つけるのを可能にした主要な幾何学的概念でした。エンジニアは、リンクとジョイントの位置を明確に記述するために、デナビト・ハルテンバーグ規則 (D-H) を使用します。各リンクには独自の座標系が割り当てられます。座標系を選択する際に考慮すべきルールがいくつかあります。

1. -軸は関節軸の方向にある${\displaystyle z}$
2. -軸は共通法線に平行です。一意の共通法線（平行軸）が存在しない場合は、 （以下）は自由パラメータになります。${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$
   ${\displaystyle z}$${\displaystyle d}$
3. -軸は、右手座標系として選択することにより、- 軸と -軸から導かれます。${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

座標フレームが決定されると、リンク間の変換は次の 4 つのパラメータによって一意に記述されます。

• ${\displaystyle \theta \,}$: 以前のものについての角度、古いものから新しいものへ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle d\,}$:共通法線に沿ってオフセット${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle r\,}$: 共通法線の長さ（別名 ですが、この表記を使用する場合は と混同しないでください）。回転ジョイントを想定すると、これは前述の の周りの半径です。${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \,}$: 古い軸から新しい軸までの共通法線に関する角度${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

ハヤティ・ロバーツ線表現は と表記され、パラメータを持つ別の極小線表現です。 ${\displaystyle L_{hr}(e_{x},e_{y},l_{x},l_{y})}$

• ${\displaystyle e_{x}}$と は直線上の単位方向ベクトルの成分である。この要件により、成分は不要になる。${\displaystyle e_{y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle e_{z}=(1-e_{x}^{2}-e_{y}^{2})^{\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle l_{x}}$および は、ワールド基準フレームの原点を通り、その線に垂直な平面と線との交点の座標です。この垂直平面上の基準フレームは、ワールド基準フレームと同じ原点を持ち、そのフレーム軸とフレーム軸は、線に沿った平行投影によるワールド基準フレームの軸と軸のイメージです。${\displaystyle l_{y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

この表現は有向線に特有のものです。座標特異点は DH 特異点とは異なります。線がワールド フレームの 軸または軸のいずれかに平行になる場合、特異点があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

指数関数の積の公式は、ねじれの指数関数の積としてオープンチェーン機構の運動学を表し、回転ジョイント、直動ジョイント、らせんジョイントの系列を記述するために使用できます。^[1]

• 基本的なロボット工学トピックのリスト

• ジョヴァンニ・レニャーニ、フェデリコ・カソロ、パオロ・リゲッティーニ、ブルーノ・ザッパ3D 運動学と動力学への同次行列アプローチ - I. 理論メカニズムと機械理論、第 31 巻、第 5 号、1996 年 7 月、573 ～ 587 ページ
• Giovanni Legnani、Federico Casalo、Paolo Righettini、Bruno Zappa 3D 運動学と動力学への同次行列アプローチ - II. 剛体の連鎖とシリアルマニピュレータへの応用メカニズムと機械理論、第 31 巻、第 5 号、1996 年 7 月、589 ～ 605 ページ
• A. Bottema および B. Roth.理論運動学。Dover Books on Engineering。Dover Publications, Inc. ミネオラ、ニューヨーク州、1990 年
• A. ケイリー. 空間における曲線の新しい解析的表現について.純粋および応用数学季刊誌,3:225–236,1860
• KH ハント著「機構の運動学的幾何学」オックスフォード サイエンス パブリケーションズ、オックスフォード、イギリス、第 2 版、1990 年
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• J. Plücker . 力学に関する基本的見解。ロンドン王立協会哲学論文集、156:361–380、1866
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• SA HayatiとM. Mirmirani。ロボットマニピュレータの絶対位置決め精度の向上。J . Robotic Systems、2(4):397–441、1985
• KS Roberts. 直線の新しい表現。コンピューター ビジョンとパターン認識に関する会議の議事録、635 ～ 640 ページ、ミシガン州アナーバー、1988 年

• Denavit Hartenburg コンベンション計算ソフトウェア、Wolfram.com「Math Source」著者: Jason Desjardins 2002