同一性の法則

論理学において、同一性の法則は、すべてのものはそれ自体と同一であると述べます。これは、無矛盾の法則、排中律とともに、伝統的な思考の 3 つの法則の最初のものです。ただし、これらの法則だけに基づいて構築された論理体系はほとんどありません。

この法則の最も古い記録はプラトンの対話篇『テアイテトス』（185a）に見られる。この中でソクラテスは、私たちが「音」と「色」と呼ぶものは、2つの異なる種類のものであることを証明しようとしている。

ソクラテス: まず第一に、音と色について、あなたは両方について、両方とも存在すると考えますか?
テアイテトス: はい。
ソクラテス: では、それぞれが他方と異なり、それ自体と同じであると考えますか?テアイテトス
: もちろんです。
ソクラテス: では、両方とも 2 つであり、それぞれが 1 つであると考えますか?
テアイテトス: はい、それもそうです。

アリストテレスでは『先分析学』の証明の中で一度だけ明示的に使われている: ^{[1] [2]}

A が B 全体と C に属し、他には何にも肯定されておらず、B も C 全体に属する場合、A と B は交換可能であることが必要である。なぜなら、A は B と C についてのみ言われ、B はそれ自身と C の両方について肯定されているので、A 自体を除く、A が言われているすべてのものについて B が言われることは明らかである。

— アリストテレス『分析学前論』第 2 巻、第 22 部、68a

アリストテレスは、無矛盾律が最も基本的な法則であると信じていました。この点では、トマス・アクィナス( Met. IV, lect. 6) とドゥンス・スコトゥス( Quaest. sup. Met. IV, Q. 3) はともにアリストテレスに従っています。スコトゥスのスペイン人の弟子アントニウス・アンドレアス(1320 年没) は、第一に「すべての存在は存在である」という法則 ( Omne Ens est Ens、Qq. in Met. IV, Q. 4) が優先されると主張していますが、故スコラ哲学者フランシスコ・スアレス( Disp. Met. III, § 3) はこれに反対し、やはりアリストテレスに従うことを好みました。

同じ原理を暗示している可能性のある別の例は、ニコラウス・クザーヌス（1431-1464） の著作の中にあります。彼は次のように述べています。

...全く同じものが複数あることはあり得ません。その場合、複数のものが存在するのではなく、同じもの自体が存在することになります。したがって、すべてのものは互いに一致し、また互いに異なります。^[3]

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、同一性の法則（彼はこれを「すべてのものはそれが何であるかである」と表現している）は肯定的な理性の第一の原始的真理であり、矛盾律は否定的な第一の真理であると主張した（Nouv. Ess. IV, 2, § i）、「あるものがそれが何であるかという主張は、それが別のものではないという主張に先行する」（Nouv. Ess. IV, 7, § 9）と論じた。ヴィルヘルム・ヴントは、ゴットフリート・ライプニッツを「A は A である」という記号定式化の功績としている。 ^[4] ライプニッツの法則は同様の原理で、2 つのオブジェクトがすべて同じ特性を持つ場合、それらは実際には 1 つの同じものである：Fx と Fy の場合に限り、x = y。

ジョン・ロック（『人間理解論』 IV. vii. iv.（「格言について」））はこう述べています。

[...] 心がどんな命題でも注意深く考察し、その命題の用語によって表される二つの観念、そして一方が他方を肯定または否定し、それらが同じか異なるかを認識するときはいつでも、その命題の真実性は現時点で間違いなく確信できる。そして、これらの命題がより一般的な観念を表す用語であるか、それほど一般的ではない観念を表す用語であるかに関係なく、これは同じである。例えば、存在の一般的な観念が「何であれ存在する」という命題のようにそれ自体で肯定されるか、またはより特定の観念が「人間は人間である」または「白いものはすべて白い」のようにそれ自体で肯定されるか [...]

アフリカン・スピルは、経験的現実の変化する様相に対抗する同一性の法則を知識の基本法則として主張している。^[5]

ジョージ・ブールは、その論文『思考の法則』の序文で、言語の性質と、言語が理解可能であるためには言語の中に自然に備わっていなければならない原理に関して、次のような観察をしています。

確かに、言​​語の本質そのものに根ざした一般原則が存在し、それによって科学的言語の要素にすぎない記号の使用が決定されます。これらの要素はある程度恣意的です。それらの解釈は完全に慣習的であり、私たちは好きなようにそれらを使用することが許されています。しかし、この許可は 2 つの不可欠な条件によって制限されています。第 1 に、慣習的に確立された意味から、同じ推論プロセスで決して逸脱しないこと、第 2 に、プロセスを実行する法則は、使用される記号の上記の固定された意味または意味のみに基づいていることです。

小説家アイン・ランドが創始した哲学である客観主義は、3つの公理に基づいており、その1つは同一性の法則、「AはAである」である。アイン・ランドの客観主義では、同一性の法則は存在の概念とともに使用され、存在するものは何かであると推論する。^[6]客観主義の認識論では、論理は同一性の法則に基づいている。^[7]

ゴットロープ・フレーゲは『算術の基礎』の中で、数字の1 を自己同一という性質と関連付けました。フレーゲの論文「意味と指示について」は、等式と意味についての議論で始まります。フレーゲは、用語の意味がその指示対象である場合、同一性の法則の些細な例である「a = a」という形式の真のステートメントが、知識の真の拡張である「a = b」という形式の真のステートメントとどのように異なるのか疑問に思いました。

バートランド・ラッセルは「表示について」の中で、次のような同様の難問を出している。「a が b と同一である場合、一方に当てはまることは他方にも当てはまり、その命題の真偽を変えることなく、いずれかを他方に代入することができる。さて、ジョージ 4 世は、スコットが『ウェイヴァリー』の著者であるかどうかを知りたかった。そして、実際、スコットは『ウェイヴァリー』の著者であった。したがって、「ウェイヴァリーの著者」を「スコット」に代入すれば、ジョージ 4 世はスコットがスコットであるかどうかを知りたかったことが証明できる。しかし、同一性の法則への関心は、ヨーロッパの第一紳士にはほとんど帰せられない。」

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは『論理哲学論考』の中で、 「大まかに言えば、二つのものが同一であると言うのはナンセンスであり、一つのものがそれ自身と同一であると言うのは何も言っていないのと同じである」と書いている。^[8]

分析哲学の形式論理では、同一性法則は「a = a」または「すべてのxに対して: x = x」と記述されます。ここで、aまたはxは命題ではなく項を参照するため、命題論理では同一性法則は使用されません。これは、等号「=」によって表現されるものであり、同一性または等価性の概念です。

マルティン・ハイデッガーは1957 年に「同一性の宣言」と題する講演を行い、その中で「A=A」という同一性の法則をパルメニデスの断片「to gar auto estin noien te kai einai (同一のものが考えられ、存在できるからである)」と結び付けました。^[要出典]ハイデッガーはこのように、思考と存在の関係、思考と存在の一体性から始めて同一性を理解しています。

ジル・ドゥルーズは、「差異と反復」があらゆる同一性の概念に先行すると書いた。^[要出典]

一階述語論理では、同一性（または等価性）は2項述語、つまり関係 = として表現されます。同一性は個体上の関係です。命題間の関係ではなく、命題の意味や多義性には関係ありません。同一性の法則は と表現できます。ここで、x はすべての個体の領域にわたる変数です。論理では、同一性の取り扱い方はさまざまです。同一性を伴う一階述語論理では、同一性は論理定数として扱われ、その公理は論理自体の一部です。この規則では、同一性の法則は論理的真理です。 ${\displaystyle \forall x(x=x)}$

同一性のない一階述語論理では、同一性は解釈可能な述語として扱われ、その公理は理論によって提供されます。これにより、異なる個体aとbによってa = bが満たされる可能性がある、より広い同値関係を使用できます。この規則では、異なる個体aとb がa = b を満たさない場合に、モデルは正規であると言われます。

このように同一性法則を制限する論理の一例としては、シュレーディンガー論理があります。

• アイデンティティ（哲学）
• トートロジー（論理）
• 名前の訂正

Wikiquote に同一性の法則に関する引用があります。