ローランシリーズ

数学において、複素関数のローラン級数とは、その関数を負の次数の項を含むべき級数として表現したものである。テイラー級数展開を適用できない場合に複素関数を表現するために使用できる。ローラン級数は、ピエール・アルフォンス・ローランにちなんで命名され、 1843年に初めて発表された。カール・ワイエルシュトラスは1841年に執筆した論文でこれについて説明していたが、1894年まで発表されなかった。^[1] ${\displaystyle f(z)}$

点の周りの複素関数のローラン級数は次のように与えられます 。 ここで、 とは定数で、 はコーシーの積分公式を一般化する輪郭積分によって定義されます。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(zc)^{n},}$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a_{n}}$$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(zc)^{n+1}}}\ 、dz.}$$

積分経路は、 が正則（解析的）である環状部 を囲み、その環状部内にあるジョルダン曲線の周りを反時計回りに進み、が正則（解析的）であることを示します。に対する展開は、環状部の内部であればどこでも有効になります。 環状部は、 というラベルの付いた適切な積分経路の例とともに、右の図に赤で示されています。を円 （ただし ）とすると、これはを に制限した場合の複素フーリエ係数を計算することに相当します。 これらの積分が輪郭の変形によって変化しないという事実は、グリーンの定理から直接導かれます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle |zc|=\varrho }$${\displaystyle r<\varrho <R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

複素関数のローラン級数を で得ることもできます。ただし、これは のときと同じです(以下の例を参照)。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z=\infty}$${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

実際には、上記の積分公式は、与えられた関数 の係数を計算するための最も実用的な方法ではないかもしれません 。その代わりに、既知のテイラー展開を組み合わせてローラン級数を組み立てることがよくあります。関数 のローラン展開は存在する場合は常に一意であるため、ある環状領域で与えられた関数に等しいこの形式の式は、 実際には のローラン展開でなければなりません。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$

複素係数を持つローラン級数は複素解析、特に特異点付近の関数の挙動を調べる上で重要なツールです。

たとえば、の関数を考えてみましょう。実関数としては、どこでも無限に微分可能です。しかし、複素関数としては、 では微分できません。指数関数 のべき級数内で を で置き換えると、そのローラン級数が得られます。これは収束し、特異点を除くすべての複素数に対してに等しくなります。反対側のグラフは、黒で と、 = 1、2、3、4、5、6、7、50 に対するそのローラン近似を示しています。 であるため、近似は特異点 を除くすべての（複素）数に対して正確になります。 ${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -1/x^{2}}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle e^{-1/x^{2}}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$

より一般的には、冪級数が円板上で定義された正則関数を表現するために使用されるのと同様に、ローラン級数は環状部上で定義された正則関数を表現するために使用できます。

が複素係数と複素中心を 持つローラン級数であるとします 。このとき、次のような一意の内半径と外半径が存在します。 $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(zc)^{n}}$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$

• ローラン級数は開環状部上で収束します。ローラン級数が収束するということは、正次べき級数と負次べき級数の両方が収束することを意味します。さらに、この収束はコンパクト集合上で一様になります。最後に、収束級数は開環状部上の正則関数を定義します。${\displaystyle A=\{z:r<|zc|<R\}}$ ${\displaystyle f(z)}$
• 環状空間の外側では、ローラン級数は発散します。つまり、の外側の各点において、正次べき級数または負次べき級数は発散します。${\displaystyle A}$
• 環状空間の境界については、内側境界に少なくとも 1 つの点があり、外側境界に少なくとも 1 つの点があり、それらの点に正則接続できないということを除いて、一般的な記述を行うことはできません。${\displaystyle f(z)}$

がゼロまたは無限大になる可能性もあります。反対に、 が未満になるとは限りません。これらの半径は次のように計算できます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{1 \over R}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}$$

後者のlim supがゼロの場合、無限大であるとみなします。 ${\displaystyle R}$

逆に、 の形の環状部と上で定義された正則関数から始めると、上で（少なくとも）収束し、関数 を表す、を中心とする唯一のローラン級数が存在することになります。 ${\displaystyle A=\{z:r<|zc|<R\}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(z)}$

例として、次の有理関数とその部分分数展開を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{ z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).}$$

この関数は、およびで特異点を持ちます。ここで、式の分母はゼロなので、式は未定義です。についてのテイラー級数(これはべき級数になります) は、半径1の円でのみ収束します。これは、1 で特異点に「当たる」ためです。 ${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=2i}$${\displaystyle z=0}$

しかし、 の半径に応じて、 0 についてのローラン展開は 3 つ存在します。 ${\displaystyle z}$

• 1 つの級数は、内側の円板上で| z | < 1で定義されます。これはテイラー級数と同じです。 これは、関数の部分分数形式と、 に対する等比級数の和の公式から得られます。$${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{za}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}}$$${\displaystyle |z|<|a|}$
• 2 番目の級数は、が 2 つの特異点の間にある中間の環状領域上で定義されます。ここでは、に対して、等比級数の和の代替形式を使用します。${\displaystyle 1<z<2}$$${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).}$$$${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}}$$${\displaystyle |z|>|a|}$
• 3 番目の級数は、 の無限外環上で定義されます( でのローラン展開でもあります)。この級数は、前と同じように等比級数を使用して導出するか、1 を で長除算して余りで停止せずに項まで続けることによって導出できます。実際、有理関数の「外側」ローラン級数は、分数の小数形式に似ています。(「内側」テイラー級数展開は、除算アルゴリズムの項の順序を逆にするだけで同様に取得できます。)${\displaystyle 2<z<\infty }$${\displaystyle z=\infty }$$${\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.}$$${\displaystyle (x-1)(x-2i)}$${\displaystyle x^{-n}}$

の場合、つまり、単一の点 で定義されない可能性がある正則関数は特に重要です。このような関数のローラン展開の係数は、特異点 での の留数と呼ばれ、留数定理で重要な役割を果たします。この例として、次を考えてみましょう。 ${\displaystyle r=0}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a_{-1}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.}$$

この関数は を除くすべての点で正則です。 ${\displaystyle z=0}$

についてのローラン展開を決定するために、指数関数のテイラー級数に関する知識を使います。 ${\displaystyle c=0}$$${\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots .}$$

剰余は2であることがわかります。

について拡張する例: ${\displaystyle z=\infty }$$${\displaystyle f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .}$$

環状空間上の正則 関数に 2 つのローラン級数があるとします。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle r<|z-c|<R}$$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.}$$

両辺に を掛けます。ここでkは任意の整数です。そして、環状空間内の経路γ上で積分します。 ${\displaystyle (z-c)^{-k-1}}$$${\displaystyle \oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.}$$

この級数は に一様収束する。ここでε はγ が狭まった閉環内に収まる ほど小さい正数なので、積分と和は入れ替えることができる。 和に恒等式を代入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon }$$${\displaystyle \oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}}$$$${\displaystyle a_{k}=b_{k}.}$$

したがって、ローランシリーズはユニークです。

ローラン多項式は、有限個の係数のみがゼロでないローラン級数です。ローラン多項式は、負の次数の項を持つ可能性がある点で 通常の多項式と異なります。

ローラン級数の主成分は負の次数を持つ項の級数であり、 $${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.}$$

の主部分が有限和である場合、 には最高項の次数（負）に等しい位数の の極が にあります。一方、が で本質的な特異点を持つ場合、主部分は無限和です（つまり、無限個の非ゼロ項があります）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

に対するローラン級数の収束の内半径が0 である場合、主部分が無限和である場合にのみに本質的な特異点があり、そうでない場合は極があります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

収束の内側半径が正の場合、 は無限個の負の項を持つ可能性がありますが、上記の例のように では依然として正則であり、その場合、 はについての円板上の 異なるローラン級数によって表されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

負の項が有限個しかないローラン級数は、 で割ったべき級数であり、同様に解析できるため、動作が適切です。一方、負の項が無限個あるローラン級数は、収束の内円上で複雑な動作をします。 ${\displaystyle z^{k}}$

ローラン級数は一般には乗算できません。代数的には、積の項の式には収束する必要のない無限和が含まれる場合があります (整数列の畳み込みは実行できません)。幾何学的には、2 つのローラン級数は収束の重なり合わない環状領域を持つ場合があります。

有限個の負の項のみを持つ 2 つのローラン級数を掛け合わせることができます。代数的には、和はすべて有限です。幾何学的には、これらは に極を持ち、収束の内側半径は 0 なので、両方とも重なり合う環状領域に収束します。 ${\displaystyle c}$

したがって、正式なローラン級数を定義する場合、有限個の負の項のみを持つローラン級数が必要になります。

同様に、2 つの収束するローラン級数の和は、形式的には常に定義されますが、必ずしも収束するとは限りません。しかし、2 つの下側有界ローラン級数 (または穴あき円板上の任意のローラン級数) の和には、空でない収束環があります。

また、体 に対して、上で定義した和と乗算により、形式ローラン級数は、形式冪級数の環の分数の体でもある体を形成します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F((x))}$${\displaystyle F[[x]]}$

• ピュイズーシリーズ
• ミッタク＝レフラーの定理
• 形式ローラン級数– 任意の可換環からの係数を持ち、収束を考慮せず、有限個の負の項のみを持つ、形式的に 考察されたローラン級数。そのため、乗算は常に定義されます。
• Z 変換 - ローラン級数をゼロ付近で取る特殊なケースは、時系列分析でよく使用されます。
• フーリエ級数 - 置換により、ローラン級数がフーリエ級数に変換されます。またはその逆の変換が行われます。これは、j不変量のq級数展開で使用されます。${\displaystyle z=e^{\pi iw}}$
• パデ近似–テイラー級数が実行できない 場合に使用される別の手法。

• 「ローラン級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ローラン シリーズ」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• ワイスタイン、エリック・W.「ローランシリーズ」。マスワールド。
• ロバート・ムナフォによるローラン級数とマンデルブロ集合