多重プリズム分散理論

多重プリズムアレイと多重プリズム分散の最初の説明は、ニュートンの著書「光学」で行われました。^[1]プリズムペアエキスパンダーは、 1813年にブリュースター によって導入されました。 ^[2]単一プリズム分散の現代的な数学的説明は、1959年にボーンおよびウルフによって与えられました。 ^[3] 一般化された多重プリズム分散理論は、 1982年にドゥアルテおよびパイパーによって導入されました^{[4] [5]}。

入射角、プリズム形状、プリズム屈折率、プリズム数の関数としての多重プリズム分散の一般化された数学的記述は、多重プリズム格子レーザー発振器の設計ツールとしてDuarteとPiperによって導入され、 ^{[4] [5]}、次のように表される。

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,m}}{\partial \lambda }}=H_{2,m}{\frac {\partial n_{m}}{\partial \lambda }}+(k_{1,m}k_{2,m})^{-1}{\bigg (}H_{1,m}{\frac {\partial n_{m}}{\partial \lambda }}\pm \ {\frac {\partial \phi _{2,(m-1)}}{\partial \lambda }}{\bigg )}}$$

これは次のようにも書ける。

$${\displaystyle \nabla_{\lambda}\phi_{2,m}=H_{2,m}\nabla_{\lambda}n_{m}+(k_{1,m}k_{2,m})^{-1}{\bigg (}H_{1,m}\nabla_{\lambda}n_{m}\pm \nabla_{\lambda}\phi_{2,(m-1)}{\bigg )}}$$

使用して

$${\displaystyle \nabla _{\lambda }={\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$$

また、

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1,m}={\frac {\cos \psi _{1,m}}{\cos \phi _{1,m}}}&\qquad k_{2,m}={\frac {\cos \phi _{2,m}}{\cos \psi _{2,m}}}\\[8pt]H_{1,m}={\frac {\tan \phi _{1,m}}{n_{m}}}&\qquad H_{2,m}={\frac {\tan \phi _{2,m}}{n_{m}}}\end{aligned}}}$$

ここで、はm番目のプリズムにおける入射角と、それに対応する屈折角です。同様に、は出射角と、それに対応する屈折角です。 2 つの主な式は、 m番目のプリズムの出射面におけるm 個のプリズムの配列の 1 次分散を示します。括弧内の 2 番目の項のプラス記号は正の分散構成を示し、マイナス記号は補償構成を示します。[ ^{4] [5]} k係数は対応するビーム拡張であり、H係数は追加の幾何学的量です。 m番目のプリズムの分散は、前のプリズムの分散( m – 1)に依存することもわかります。 ${\displaystyle \phi _{1,m}}$${\displaystyle \psi _{1,m}}$${\displaystyle \phi _{2,m}}$${\displaystyle \psi _{2,m}}$

これらの方程式は、アイザック・ニュートンの著書『光学』に記載されているように、また多重プリズム分光計などの分散計測機器に使用されているように、プリズムアレイの角度分散を定量化するためにも使用できます。明示的ですぐに適用できる方程式（エンジニアリングスタイル）を含む、実用的な多重プリズムビームエキスパンダーと多重プリズム角度分散理論に関する包括的なレビューは、Duarteによって提供されています。^[7]

最近では、一般化された多重プリズム分散理論が拡張され、正と負の屈折が含まれるようになりました。^[8] また、高次の位相微分はニュートン反復法を使用して導出されました。^{[9]この理論の拡張により、エレガントな数学的枠組みを介してN次の高次微分を評価できるようになりました。その応用には、}プリズムパルスコンプレッサーや非線形光学の設計のさらなる改良が含まれます。

単一の一般化プリズム（m = 1）の場合、一般化多重プリズム分散方程式は次のように簡略化される^{[3] [10]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,1}}{\partial \lambda }}={\frac {\sin \psi _{2,1}}{\cos \phi _{2,1}}}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}+{\frac {\cos \psi _{2,1}}{\cos \phi _{2,1}}}\tan \psi _{1,1}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}}$$

単一プリズムが直角プリズムであり、ビームが出力面に対して垂直に出射する場合、つまりゼロに等しい場合、この式は^{[7]に簡約されます。}${\displaystyle \phi _{2,m}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2,1}}{\partial \lambda }}=\tan \psi _{1,1}{\frac {\partial n_{1}}{\partial \lambda }}}$$

この理論の最初の応用は、多重プリズム格子レーザー発振器におけるレーザー線幅の評価であった。 ^[4]総共振器内角分散は、次式を通じてパルス可変レーザーの線幅狭窄 に重要な役割を果たしている。^{[4] [7]}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

ここで、はビームの発散角であり、全体の共振器内角度分散は括弧内の量（-1に上げられる）である。もともと古典的な起源ではあったが、1992年に、このレーザー共振器線幅方程式は干渉計量子原理からも導出できることが示された。^[11]${\displaystyle \Delta \theta }$

多重プリズムビームエキスパンダーからのゼロ分散の特別なケースでは、単一パスレーザー線幅は次のように与えられる^{[7] [10]}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left(M{\partial \theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

ここでMはビーム拡大器によって提供されるビーム倍率であり、回折格子によって提供される角度分散を増幅する。実際にはMは100～200程度になることがある。^{[7] [10]}

多重プリズムエキスパンダーの分散がゼロでない場合、単一パス線幅は^{[4] [7]で与えられる。}

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \theta \left(M{\partial \theta \over \partial \lambda }+{\partial \phi _{2,m} \over \partial \lambda }\right)^{-1}}$

ここで、第１微分は格子からの角度分散を指し、第２微分は多重プリズムビームエキスパンダー（上記セクションに記載）からの全体的な分散を指す。^{[7] [10]}

1987年に多重プリズム角分散理論が拡張され、プリズム型パルス圧縮機の設計に直接適用できる明示的な2次方程式が提供されました。^[12] 一般化された多重プリズム分散理論は以下に適用できます。

• アミチプリズム^{[13] [14]}
• レーザー顕微鏡、^{[15] [16]}
• 狭線幅可変レーザー設計、^[17]
• プリズムビームエキスパンダー^{[4] [5]}
• フェムト秒パルスレーザー用プリズムコンプレッサー。^{[18] [19] [20]}

• ビームエキスパンダー
• レーザー線幅
• 多重プリズム格子レーザー発振器

• プリズムとマルチプリズムパルス圧縮: チュートリアル