カイパーの定理

数学において、カイパーの定理（ニコラース・カイパーに由来）は、無限次元複素ヒルベルト空間 H上の作用素の位相に関する結果である。これは、作用素のノルム位相に対して、 Hの可逆な有界自己準同型空間GL( H )は、任意の有限複素数YからGL( H )へのすべての写像が定数に同型であるということである。

カイパーの定理とも呼ばれる重要な帰結は、この群が弱収縮可能である、つまりそのホモトピー群はすべて自明であるということです。この結果は位相的 K 理論で重要な用途があります。

有限次元Hの場合、この群は複素一般線型群となり、全く縮退可能ではない。実際、これはその最大コンパクト部分群であるHのユニタリ群 Uとホモトピー同値である。複素一般線型群とユニタリ群が同じホモトピー型を持つことの証明は、グラム・シュミット過程、すなわち行列極分解によって行われ、基本的に上三角行列の空間は極めて明示的にわかるように縮退可能であるため、無限次元の可分ヒルベルト空間の場合にも引き継がれる。根本的な現象は、無限次元に移行するとユニタリ群の位相的複雑さの多くが消失するということである。しかし、ボットのユニタリ群のセクションを参照のこと。そこでは無限への移行がより制約され、結果として生じる群は非自明なホモトピー群を持つ。

驚くべき事実として、無限次元ヒルベルト空間H内の単位球面（S ^∞と表記されることもある）は収縮可能な空間であるのに対し、有限次元球面は収縮可能ではない。この結果は、カイパーの結果より数十年も前から知られており、数学的な伝説のような地位にあるかもしれないが、非常に頻繁に引用されている。^{[1] [2]}実際には、それ以上のことも真実である。S ^{∞ は}Hと微分同相であり、H はその凸性により確かに収縮可能である。^[3]一つの帰結として、ブラウワーの不動点定理をH内の単位球面に拡張することに対する滑らかな反例が存在する。^[4]同相写像であるそのような反例の存在は、1943年に角谷静夫によって示された。彼は単位球面の収縮可能性の証明を初めて書き留めたと考えられる。^[5]しかし、結果は本質的には知られていました（1935年にアンドレイ・ニコラエヴィッチ・ティホノフは単位球が単位球を縮めたものであることを示し）。^[6]

有界作用素群の結果は、オランダの数学者ニコラース・カイパーによって、可分ヒルベルト空間の場合に証明された。可分性の制限は後に解除された。^[7]同じ結果が、ノルム位相ではなく強作用素位相に対して、ジャック・ディクスミアとアドリアン・ドゥアディによって1963年に発表された。^[8]球面と作用素群の幾何学的関係は、単位球面がユニタリ群Uの同次空間であるということである。単位球面の単一のベクトルvの安定化子は、 vの直交補集合のユニタリ群である。したがって、ホモトピー長完全列は、単位球面のすべてのホモトピー群が自明であることを予測する。これは密接な位相関係を示しているが、それ自体では十分ではない。なぜなら、点の包含は弱ホモトピー同値のみであり、それが直接的にCW 複体に対してのみ縮約可能性を意味するからである。カイパーの論文の2年後に発表された論文では、^[9]

ホモトピー理論で重要な意味を持つもう 1 つの無限次元ユニタリ群があり、ボット周期性定理が適用されます。これは確かに縮退可能ではありません。カイパー群との違いは次のように説明できます。ボット群は、与えられた演算子が、固定された正規直交基底 { e _i } の最初のNによって張られる部分空間に対してのみ非自明に作用する部分群です。この場合、あるN は残りの基底ベクトルの単位元です。

ファイバー束の一般理論から、すべてのヒルベルト束は自明な束であるという直接的な帰結が得られる。^[10]

S ^∞の縮約可能性の結果は、2 つの要素を持つ巡回群や円群など、S ∞ に自由に作用する特定の群の分類空間の幾何学的構成を与える。ボットの意味でのユニタリ群Uは、複素ベクトル束の分類空間BUを持つ( U(n) の分類空間を参照)。カイパーの定理から生まれたより深い応用は、アティヤ・イェーニヒ定理の証明(クラウス・イェーニヒとマイケル・アティヤによる) であり、ノルム位相を持つH上のフレドホルム作用素の空間は、ホモトピー理論の意味で、位相的 (複素) K 理論の関数K (.) を表すことを述べている。これはアティヤによって与えられた。^[11]

同じ疑問が、無限次元の任意のバナッハ空間上の可逆作用素についても提起されるかもしれない。ここでは部分的な結果しか得られない。いくつかの古典的な数列空間は同じ性質、すなわち可逆作用素の群が縮約可能であるという性質を持つ。一方で、それが連結空間にならない例も知られている。^[12]すべてのホモトピー群が自明であることがわかっているが、場合によっては縮約可能性は不明のままである可​​能性がある。

• カイパー、N . ( 1965)。「ヒルベルト空間のユニタリー群のホモトピー型」。トポロジー。3 (1): 19–30。doi :10.1016/0040-9383(65)90067-4。