シーケンス（書籍）

H. ハルバースタムとKF ロス:シーケンス

H. Halberstam および KF Roth: Sequences 2nd ed.、Springer、ニューヨーク、ハイデルベルク、ベルリン、1983 年。
著者	H. ハルバースタムとKF ロス
出版社	Clarendon Press 第 1 版; Springer、ニューヨーク、第 2 版。
英語で出版	1966年初版。 1983年第2版。
番号	9781461382294第2版。
OCLC	877577079 初版。 7330436683 第2版。

『数列』は整数列に関する数学のモノグラフである。ヘイニ・ハルバースタムとクラウス・ロスによって執筆され、1966年にクラレンドン・プレスから出版され、1983年にシュプリンガー・フェアラークから若干の修正を加えて再出版された。 ^{[1] [2]} 2巻セットの一部となる予定であったが、 ^{[3] [4]}第2巻は出版されなかった。

この本は5つの章から成り^[3] 、各章は大部分が独立しており^[4]、[5]、この分野の問題を解くために使われるさまざまな手法を中心に緩やかに構成されています^[4 ] 。付録には、この本を読むために必要な数論の背景資料が書かれています^{[3] 。}素数や平方数などの特定の数列を扱うのではなく、数列に関する数学理論全般を扱っています。^{[6] [7]}

第 1 章では、数列の自然密度と、シュニレルマン密度などの関連概念について考察します。数列の和集合の密度に関する定理を証明します。これには、和集合のシュニレルマン密度は少なくともシュニレルマン密度の和であるというマンの定理や、下側漸近密度が劣加法である数列の構造に関するクネーザーの定理が含まれます。また、0 から 1 の間のシュニレルマン密度の別の数列に追加されると密度が増加する数列である必須成分を研究し、加法基底が必須成分であることを証明し、加法基底ではない必須成分の例を示します。^{[3] [6] [7] [8]}

第2章では、与えられた数列の要素の与えられた数の合計としての整数の表現の数について扱い、この表現の数は線形関数に近づくことはできないとするエルデシュ・フックスの定理を取り上げます。第3章では、確率的方法を使用して表現の数の研究を続け、表現の数が対数である2次の加法基底が存在するという定理を取り上げます。これは、後にエルデシュ・テタリ定理ですべての順序に強化されました。^{[3] [6] [7] [8]}

篩理論と大篩に関する章（残念ながら、本の出版直後に起こった重要な進展は省略されている）の後、^{[6] [7]}最終章では、整数の原始列、つまり素数のように、どの要素も他の要素で割り切れない列について論じている。この章には、そのような列は対数密度がゼロでなければならないというベーレンドの定理や、アブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチによる、自然密度が 1/2 に近い原始列の構成（一見矛盾しているように見える）が含まれている。また、その要素の整数倍をすべて含む列、そのような列では下側の自然密度と対数密度が存在し、それらが等しいというダベンポート・エルデシュの定理、および自然密度を持たない倍数列のベシコヴィッチによる関連構成についても論じている。^{[3] [6] [7]}

この本は他の数学者や数学の学生を対象としており、一般の読者には適していません。^[4]しかし、査読者のJWS Casselsは、この本は数学の上級学部生にも読みやすいかもしれないと示唆しています。^[6]

評論家のEMライトは、この本の「正確な学識」、「最も読みやすい説明」、「魅力的なトピック」を指摘しています。^[5]評論家のマーヴィン・ノップは、この本を「見事な」本であり、加法的な組み合わせ論を概観した最初の本であると評しています。^[4]同様に、カッセルスは、Additive Zahlentheorie (Ostmann, 1956) とAddition Theorems (Mann, 1965) という本に加法的な組み合わせ論に関する資料が存在することを指摘していますが、この本をこの分野における「最初の関連した説明」と呼んでいます。^[6]また、評論家のハロルド・スタークは、この本で扱われている資料の多くが「本の形式ではユニーク」であると述べています。^[7]ノップはまた、多くの場合、調査した元の資料の誤りや欠陥を修正している点でもこの本を称賛しています。^[4]評論家のハロルド・スタークは、この本は「今後何年もこの分野の標準的な参考書になるはずだ」と書いています。^[7]