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数学において、不一致理論は、ある状況が望ましい状態からどのようにずれているかを説明します。不一致理論は分布の不規則性理論とも呼ばれます。これは、古典的な不一致理論のテーマ、つまり、ある空間内の点を、いくつかの（主に幾何学的に定義された）部分集合に関して均等に分布するように分布させることを指します。不一致（不規則性）は、特定の分布が理想的な分布からどれだけずれているかを測定します。
不一致理論は、測度論的および組み合わせ論的設定における分布の不可避的な不規則性の研究として説明できます。ラムゼー理論が完全な無秩序の不可能性を明らかにするのと同様に、不一致理論は完全な均一性からの逸脱を研究します。
矛盾理論の歴史において重要な出来事は、1916年にワイルが発表した単位区間内の数列の一様分布に関する論文である。[1]
定理
矛盾理論は、以下の古典的な定理に基づいています。
- 幾何学的矛盾理論
- ファン・アーデンヌ・エーレンフェストの定理
- 等差数列（ロス、サルコジ、ベック、マトウゼク、スペンサー）
- ベック・フィアラ定理[2]
- 6標準偏差で十分である（スペンサー）[3]
未解決の主な問題
矛盾理論に関連する未解決の問題には以下のものがあります。
- 3次元以上の軸平行長方形（民間伝承）
- コムロス予想
- ハイルブロン三角形問題：n点集合から 3 点によって決定される三角形の最小面積に関する問題
アプリケーション
矛盾理論の応用例には以下のものがあります。
- 数値積分:高次元モンテカルロ法
- 計算幾何学:分割統治アルゴリズム
- 画像処理：ハーフトーン処理
- ランダム試験の定式化：ランダム化比較試験[4] [5] [6]
参照
参考文献
- ^ ヘルマン・ヴァイル(1916 年 9 月 1 日)。 「Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins」[数値の均等配分について]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。77 (3): 313–352。土井：10.1007/BF01475864。ISSN 1432-1807。S2CID 123470919。
- ^ ヨーゼフ・ベックとティボール・フィアラ (1981)。 「「整数生成」定理」。離散応用数学。3 (1): 1 ～ 8。土井：10.1016/0166-218x(81)90022-6。
- ^ Joel Spencer (1985 年 6 月). 「6 つの標準偏差で十分」.アメリカ数学会誌. 289 (2). アメリカ数学会誌、第 289 巻、第 2 号: 679–706. doi : 10.2307/2000258 . JSTOR 2000258.
- ^ Harshaw, Christopher; Sävje, Fredrik; Spielman, Daniel A; Zhang, Peng (2024). 「Gram-Schmidtウォーク設計によるランダム化実験における共変量のバランス」アメリカ統計学会誌。アメリカ統計学会誌: 1–13。
- ^ スピルマン、ダニエル（2020年5月11日）。矛盾理論を用いたランダム化比較試験のデザインの改善。
- ^ スピルマン、ダニエル（2021年1月29日）。矛盾理論とランダム化比較試験。
さらに読む
- ベック、ヨーゼフ、チェン、ウィリアム WL (1987)。流通の不規則性。ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-30792-9。
- チャゼル、バーナード（2000年）。「不一致法：ランダム性と複雑性」ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-77093-9。
- Matousek, Jiri (1999)。幾何学的矛盾: 図解ガイド。アルゴリズムと組み合わせ論。第 18 巻。ベルリン: Springer。ISBN 3-540-65528-X。