キンチン定数

数論において、ヒンチン定数は、多くの実数の単純な連分数展開に関連する数学定数です。特に、アレクサンドル・ヤコブレビッチ・ヒンチンは、ほとんどすべての実数xに対して、 xの連分数展開の係数a _iは、 xの値に依存しない有限の幾何平均を持つことを証明しました。これはヒンチン定数として知られ、K ₀と表記されます。

つまり、

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

それはほぼ常に真実 である

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}.}$

キンチン定数の小数値は次のように与えられます。

${\displaystyle K_{0}=2.68545\,20010\,65306\,44530\dots }$（OEISの配列A002210）

ほとんどすべての数がこの特性を満たしていますが、この目的のために特別に構築されていない実数については証明されていません。次の数は、連分数展開でこの特性が明らかに備わっています (経験的データに基づく)。

• π
• 2 次を超える方程式の根、例: 3次根や4次根
• 自然対数、例： ln(2)および ln(3)
• オイラー・マスケローニ定数γ
• アペリーの定数ζ(3)
• ファイゲンバウム定数δ と α
• キンチン定数

しかし、この特性を持つ 実数x は1 つも検証されていません。

連分数展開がこの性質を持たないことが知られている数xには次のものがあります。

• 有理数
• 二次方程式の根、例えば整数の平方根や黄金比Φ
• 自然対数の底e。​

古い数学文献では、Khinchin は Khintchine (ロシア語の Хинчин のフランス語の音訳) と綴られることもあります。

キンチン定数は次の無限積で与えられます。

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}}$

これは次のことを意味します:

${\displaystyle \ln K_{0}=\sum _{r=1}^{\infty }\ln {\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}{\log _{2}r}}$

ヒンチン定数は有理ゼータ級数として次のように表現することもできる^[1]

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$

あるいは、一連の項を剥がすことによって、

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]}$

ここで、N は固定された整数であり、ζ( s ,  n ) は複素フルヴィッツゼータ関数である。両方の級数は強く収束し、nが大きい場合、ζ( n ) − 1 は急速にゼロに近づく。また、二重対数で展開することもできる。

${\displaystyle \ln {\frac {K_{0}}{2}}={\frac {1}{\ln 2}}\left[{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right].}$

ヒンチン定数に関連する積分はいくつか存在する: ^[2]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log _{2}\lfloor x^{-1}\rfloor }{x+1}}\mathrm {d} x=\ln {K_{0}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log _{2}(\Gamma (2+x)\Gamma (2-x))}{x(x+1)}}\mathrm {d} x=\ln K_{0}-\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x(x+1)}}\log _{2}\left({\frac {\pi x(1-x^{2})}{\sin \pi x}}\right)\mathrm {d} x=\ln K_{0}-\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\log _{2}(x|\cot x|)}{x}}\mathrm {d} x=\ln K_{0}-{\frac {1}{2}}\ln 2-{\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}}$

ここで提示された証明はチェスワフ・リル＝ナルジェフスキ^{[3]によって整理されたもので、}エルゴード理論を用いなかったヒンチンのオリジナルの証明よりもはるかに単純化されている。

xの連分数の最初の係数a ₀はヒンチンの定理では役割を果たさず、有理数はルベーグ測度が 0であるため、単位区間内の無理数、つまり 内の無理数の研究に限定されます。これらの数は、[0; a ₁ ,  a ₂ , ...] の形式の 無限連分数と一対一であり、単に [ a ₁ ,  a ₂ , ...]と書きます。ここで、a ₁ , a _{2 , ... は}正の整数です。変換T : I  →  I を次のように 定義します。${\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

${\displaystyle T([a_{1},a_{2},\dots ])=[a_{2},a_{3},\dots ].\,}$

変換T はガウス・クズミン・ウィルシング演算子と呼ばれる。Iの任意のボレル部分集合 Eに対して 、 Eのガウス・クズミン測度も定義する。

${\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}.}$

すると、μ はIのボレル部分集合のσ代数上の確率測度になります。測度μ はI上のルベーグ測度と同等ですが、変換T が測度μ を保存するという追加の特性があります。さらに、 T は確率測度μが備わった測定可能空間Iのエルゴード変換であることが証明できます(これが証明の難しい部分です)。エルゴード定理によれば、I上の任意のμ積分可能関数fに対して、 の平均値はほぼすべての に対して同じです。 ${\displaystyle f\left(T^{k}x\right)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}fd\mu \quad {\text{for }}\mu {\text{-almost all }}x\in I.}$

これをf ([ a ₁ ,  a ₂ , ...]) = ln( a ₁ )で定義される関数に適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln a_{k}=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln \left[1+{\frac {1}{r(r+2)}}\right]\log _{2}r}$

n → ∞のとき、Iのほぼすべての[ a ₁、  a ₂、...]に対して 。

両辺の指数をとると、左側に連分数の 最初のn個の係数の幾何平均が得られ、右側にキンチン定数が得られます。

ヒンチン定数は、連分数のヘルダー平均の級数の最初のものとして考えることができる。任意の級数{ a _n }が与えられたとき、級数の p次のヘルダー平均は次のように与えられる。

${\displaystyle K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}.}$

{ a _n }が連分数展開の項である場合、定数は次のように与えられる。

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}.}$

これは、 p番目の平均をガウス・クズミン分布と組み合わせて取得します。 のとき、これは有限です。 ${\displaystyle p<1}$

算術平均は発散します: 、そのため係数は任意に大きくなります: 。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=K_{1}=+\infty }$${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$

K ₀の値はp → 0の極限で得られます 。

調和平均（p =  −1）は

${\displaystyle K_{-1}=1.74540566240\dots }$（OEISの配列A087491）。

π、オイラー・マスケローニ定数γ、ヒンチン定数そのものなど、よく知られた多くの数は、数値的証拠に基づくと^{[4] [5] [2]、}その極限がヒンチン定数に収束する数であると考えられています。しかし、これらの極限はどれも厳密に確立されていません。実際、その目的のために特別に構築されていない実数については証明されていません。[ 6 ^]${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}}$

ヒンチン定数自体の代数的性質、例えばそれが有理数なのか、代数的 無理数なのか、超越数なのかも分かっていない。^[2]

• ロックスの定理
• レヴィ定数
• ソモスの定数
• 数学定数のリスト

• David H. Bailey、Jonathan M. Borwein、Richard E. Crandall (1995)。「Khinchine定数について」(PDF)。計算数学。66 (217): 417–432。doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4。
• Jonathan M. Borwein、David M. Bradley、Richard E. Crandall (2000)。「リーマンゼータ関数の計算戦略」(PDF)。J . Comput. Appl. Math。121 ( 1–2 ): 11。Bibcode :2000JCoAM.121..247B。doi : 10.1016 /s0377-0427(00)00336-8。

• Thomas Wieting (2007). 「キンチン列」.アメリカ数学会誌. 136 (3): 815–824. doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .

• Aleksandr Ya. Khinchin (1997)。Continued Fractions。ニューヨーク：Dover Publications。

ウィキメディア・コモンズには、キンチン定数に関連するメディアがあります。

• キンチン定数の110,000桁
• キンチン定数の10,000桁