ソモスの二次再帰定数

数学的解析学と数論において、ソモスの二次回帰定数、または単にソモス定数は、無限に重なった平方根の式として定義される定数である。これは、特定の数列の漸近的挙動を研究するときに発生し^[1]、また、0と1の間の実数の2進表現との関連でも発生する。^[2]ミカエル・ソモスにちなんで名付けられた定数。次のように定義される。

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3{\sqrt {4{\sqrt {5\cdots }}}}}}}}}}}$

これはおよそ次の数値を与える：^[3]

${\displaystyle \sigma =1.661687949633594121295\dots \;}$（OEISの配列A112302）。

ソモス定数は、次の無限積を介して定義することもできます。

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/2^{k}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3 ^{1/8}\;4^{1/16}\ドット }$

これは、はるかに速く収束する積の表現 に簡単に書き直すことができる。

${\displaystyle \sigma =\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\dots }$

これは次のように無限積形式で簡潔に表現できます。

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{1/2^{k}}}$

別の積の表現は次のようになる: ^[4]

${\displaystyle \sigma =\prod _{n=1}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+n}{\ビノム {n}{k}}}}$

（ OEISの配列A114124）の表現には以下が含まれる： ^{[4] [5]}${\displaystyle \ln \sigma }$

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{2^{k}}}}$

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{\text{Li}}_{k}\left({\tfrac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \ln {\frac {\sigma }{2}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\left(\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k}}\right)}$

の積分は次のように与えられる: ^{[4] [6]}${\displaystyle \ln \sigma }$

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(x-2)\ln x}}dx}$

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-x}{(2-xy)\ln(xy)}}dxdy}$

この定数は、シーケンスの漸近挙動を研究するときに発生します^[1]${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle g_{0}=1}$

${\displaystyle g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n\geq 1}$

最初の数項は1、1、2、12、576、1658880、…（OEISのシーケンスA052129）である。このシーケンスは、次のように漸近的な動作を示すことができる：^[4]

${\displaystyle g_{n}\sim {\sigma ^{2^{n}}}\left(n+2-n^{-1}+4n^{-2}-21n^{-3}+138n^{-4}+O(n^{-5})\right)^{-1}}$

ギレラとソンドウはレルヒの超越関数の微分による表現を与えている：^[6] ${\displaystyle \Phi (z,s,q)}$

${\displaystyle \ln \sigma =-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}\!\left(1/2,0,1\right)}$

オイラー定数関数（に対するオイラー定数を与える）を次のように 定義します。${\displaystyle z=1}$

${\displaystyle \gamma (z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$

1つは：^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \gamma ({\tfrac {1}{2}})=2\ln {\frac {2}{\sigma }}}$

集合のすべての実数に対して、 10進展開や単純な連分数展開 と同様に「連続2進展開」を定義することができます。これは、無限の0の末尾を含まない数の唯一の2進表現を考慮することによって行われます（たとえば、半分をの代わりにと書きます）。次に、この2進表現の1の位置の差を与えるシーケンスを定義します。 のこの展開は、次のように表されます。^[10] ${\displaystyle (0,1]}$${\displaystyle x\in (0,1]}$${\displaystyle 0.01111..._{2}}$${\displaystyle 0.1_{2}}$ ${\displaystyle (a_{k})\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\langle a_{1},a_{2},a_{3},...\rangle }$

たとえば、円周率の小数部は次のようになります。

${\displaystyle \{\pi \}=0.14159\,26535\,89793...=0.00100\,10000\,11111..._{2}}$（OEISの配列A004601）

最初の 1 は、小数点の後の 3 番目の位置に現れます。次の 1 は最初の 1 の 3 つ後の位置に現れ、3 番目の 1 は 2 番目の 1 の 5 つ後の位置に現れます。このように続けると、次のようになります。

${\displaystyle \pi -3=\langle 3,3,5,1,1,1,1...\rangle }$（OEISの配列A320298）

これにより、すべての実数に対して一意に次の式が得られる全単射写像が得られる。 ^[10]${\displaystyle (0,1]\mapsto \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle x\in (0,1]}$

${\displaystyle x=\langle a_{1},a_{2},a_{3},...\rangle :\Leftrightarrow x=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-( a_{1}+...+a_{k})}}$

ほぼすべての数値について、項の幾何平均の極限はソモスの定数に収束することが証明されました。つまり、その区間内のほぼすべての数値について、次の式が成り立ちます。^[2]${\displaystyle x\in (0,1]}$${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sigma =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}}$

ソモスの定数は、キンチンの定数が数の単純な連分数展開に対して普遍的であるのと同じ意味で、数の「連二進展開」に対して普遍的です。 ${\displaystyle x\in (0,1]}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

一般化されたソモス定数は次のように表されます。

${\displaystyle \sigma _{t}=\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/t^{k}}=1^{1/t}\;2^{1/t^{2}}\;3^{1/t^{3}}\;4^{1/t^{4}}\dots }$

のために。 ${\displaystyle t>1}$

次の数列が成り立ちます:

${\displaystyle \ln \sigma _{t}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{t^{k}}}}$

オイラー定数関数との関連もある：^[8]

${\displaystyle \gamma ({\tfrac {1}{t}})=t\ln \left({\frac {t}{(t-1)\sigma _{t}^{t-1}}}\right)}$

そして次の極限、ここで はオイラー定数です。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}t\sigma _{t+1}^{t}=e^{-\gamma }}$

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