ラプラス不変量

微分方程式では、特定の微分演算子のラプラス不変量は、係数とその導関数の特定の関数です。2次の2変量双曲型微分演算子を考えてみましょう。

${\displaystyle \partial _{x}\,\partial _{y}+a\,\partial _{x}+b\,\partial _{y}+c,\,}$

その係数

${\displaystyle a=a(x,y),\ \ b=c(x,y),\ \ c=c(x,y),}$

は2変数の滑らかな関数である。そのラプラス不変量は 次の形をとる。

${\displaystyle {\hat {a}}=c-ab-a_{x}\quad {\text{and}}\quad {\hat {b}}=c-ab-b_{y}.}$

それらの重要性は古典的な定理によるものです:

定理: 形式の 2 つの演算子は、それらのラプラス不変量が 1 対 1 で一致する場合にのみ、ゲージ変換に対して同等です。

ここでオペレーターは

${\displaystyle A\quad {\text{and}}\quad {\tilde {A}}}$

一方を他方へ変換する ゲージ変換が存在する場合、それらは同値であると言われる。

${\displaystyle {\tilde {A}}g=e^{-\varphi }A(e^{\varphi }g)\equiv A_{\varphi }g.}$

ラプラス不変量は、初期演算子Aの因数分解の「剰余」とみなすことができます。

${\displaystyle \partial _{x}\,\partial _{y}+a\,\partial _{x}+b\,\partial _{y}+c=\left\{{\begin{array}{c}(\partial _{x}+b)(\partial _{y}+a)-ab-a_{x}+c,\\(\partial _{y}+a)(\partial _{x}+b)-ab-b_{y}+c.\end{array}}\right.}$

ラプラス不変量の少なくとも1つがゼロでない場合、すなわち

${\displaystyle c-ab-a_{x}\neq 0\quad {\text{および/または}}\quad c-ab-b_{y}\neq 0,}$

この表現は、因数分解不可能な二変量線形偏微分方程式 (LPDE) を解くために使用されるラプラス・ダルブー変換の最初のステップです 。

両方のラプラス不変量がゼロの場合、すなわち

${\displaystyle c-ab-a_{x}=0\quad {\text{and}}\quad c-ab-b_{y}=0,}$

すると、微分演算子A は因数分解可能となり、対応する 2 次線形偏微分方程式は解けるようになります。

ラプラス不変量は、2 次および双曲型の 2 変量線形偏微分演算子 (LPDO) に対して導入されました。これらは、任意の次数および任意の型の 2 変量 LPDO に対して構築できる一般化不変量の特殊なケースです。 「LPDO の不変因数分解」を参照してください。

• 偏微分
• 不変量（数学）
• 不変理論

• G. ダルブー、「Leçons sur la théorie général des surfaces」、Gauthier-Villars (1912) (Edition: Second)
• G. Tzitzeica G.、「M. Darboux の定理」。 Comptes Rendu de l'Academie des Sciences 150 (1910)、955–956 ページ。 971–974
• L. ビアンキ、「Lezioni di geometria Differentenziale」、ザニケリ、ボローニャ、(1924)
• AB Shabat、「ラプラス・ダルブー変換の理論について」 J. Theor. Math. Phys. Vol. 103, N.1,pp. 170–175 (1995) [1]
• AN Leznov、MP Saveliev。「非線形動的システムにおける積分のための群論的手法」（ロシア語）、モスクワ、Nauka（1985年）。英訳：Progress in Physics、15。Birkhauser Verlag、バーゼル（1992年）