3次元多様体入門

『3次元多様体入門』は、低次元位相幾何学に関する数学の本です。ジェニファー・シュルテンスによって書かれ、アメリカ数学会によって2014年に『Graduate Studies in Mathematics』シリーズの第151巻として。

多様体とは、その任意の点の近傍の位相がユークリッド空間の点の近傍の位相と同じである空間である。ただし、その大域的構造は非ユークリッドである可能性がある。2次元多様体のよく知られた例としては、球、トーラス、クラインの壺などがある。本書は、3次元多様体と、その中の2次元面に焦点を当てている。特に焦点を合わせているのは、3次元多様体を2つのハンドル体に分割する2次元面であるヒーガード分割である。本書はこの分野の主要なアイデアを提示することを目的としているが、多くの場合、長くて技術的であるため、本書で述べる結果の多くに対する詳細な証明は含まれていない。^[1]

この本は 7 つの章から構成されています。最初の 2 つは入門編で、多様体一般、低次元多様体に対する三角形分割の存在と同値性を証明するHauptvermutung 、 2 次元曲面の分類、被覆空間、写像類群について説明しています。第 3 章では、3 次元多様体と、曲面に沿って切断することによる多様体の小さな空間への分解について説明しています。たとえば、3 次元のシェーンフライスの定理では、ユークリッド空間を球で切断すると、2 つの位相球しか生成できないとされています。JWアレクサンダーの類似の定理では、ユークリッド空間内の任意のトーラスの少なくとも 1 辺はソリッド トーラスでなければならないとされています。ただし、より複雑な多様体の場合は、非圧縮面に沿った切断を使用して多様体のJSJ 分解を構築できます。この章には、ザイフェルト ファイバー空間に関する内容も含まれています。第4章では、結び目理論、結び目の不変量、薄い位置、そして結び目の補集合（トーラスの反対側にあるユークリッド空間の部分空間）を介した結び目とその不変量と多様体との関係について説明します。 ^{[1] [2]}

評論家のブルーノ・ツィンメルマンは第5章と第6章を「本書の核心」と呼んでいるが^[1]、評論家のマイケル・バーグはこれに反対し、結び目理論に関する第4章の方が中心的であると考えている。^[3]第5章では、制御された方法で多様体の三角形分割の四面体に交差する面である正規面について説明する。三角形分割の各四面体内に各タイプのピースをいくつ持つことができるかによってこれらの面をパラメータ化することにより、自明な結び目や自明な多様体の認識など、多様体に関する多くの疑問を、特定のディオファントス方程式の解の存在に関する数論の疑問に還元することができる。本書ではこのツールを使用して、多様体の素分解の存在と一意性を証明している。第6章では、与えられた多様体を2つのハンドル体に分割する面であるヒーガード分割について述べる。これには、ヒーガード分割の共通の改良（「安定化」）に関するライデマイスターとシンガーの定理、分割の簡約性、ユークリッド空間の特定の種数の分割の一意性、およびヒーガード分割を研究するためのツールであるルビンシュタイン-シャルレマングラフが含まれます。^{[1] [2]}

最終章では、幾何化予想、デーン手術、葉理、積層、曲線複体など、より高度なトピックを概観します。^{[1] [2]}一般位置とモース理論 に関する2つの付録があります。^[4]

この本は大学院の入門レベルの教科書として書かれていますが、最近の多くの進展を紹介しており、この分野の専門家にとっても興味深いものとなっています。^{[1] [2]}一般的な位相幾何学の背景知識が少し必要であり、代数位相幾何学と微分幾何学の知識もこの本を読む上で役立つでしょう。^{[2] [4]}多くの図解と演習が含まれています。^[4]

評論家のブルーノ・ツィンメルマンは、この本は「読みやすく直感的な方法で書かれている」と述べている。^[1]評論家のマイケル・バーグは、この本を「彼女が選んだ主題の範囲を豊かに例示する優れた本...非常によく書かれており、表現が明快で明確である」と評している。^[3]

3次元多様体の数学に関するその他の関連書籍としては、ジョン・ヘンペル著『3-manifolds』（1976年）、ビクター・V・プラソロフとアレクセイ・B・ソシンスキー共著『 Knots, links, braids and 3-manifolds』（1997年）、セルゲイ・V・マトヴェエフ著『Algorithmic topology and classified of 3-manifolds』 （第2版、2007年）、アレン・ハッチャー著の3次元多様体に関する未発表の講義ノート集などがある。^[2]