整数格子

数学において、n次元整数格子（または立方格子）は、ユークリッド空間⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$内の格子点で、格子点がn 個の整数の組である格子です。2 次元整数格子は、正方格子またはグリッド格子とも呼ばれます。⁠ ⁠はルート格子の最も単純な例です。整数格子は奇ユニモジュラー格子です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

整数格子の自己同型群（または合同群）は、座標のすべての順列と符号変換から成り、 2 ⁿ n !の位数です。行列群としては、すべてのn  ×  nの符号付き順列行列の集合で与えられます。この群は、半直積と同型です。 

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$

ここで対称群 S _{n は}置換によって( Z ₂ ) ⁿに作用します（これは花輪積の典型的な例です）。

正方格子の場合、これは正方群、つまり8 次二面体群です。3 次元の立方格子の場合、これは立方群、つまり 48 次八面体群です。

ディオファントス幾何学の研究では、整数座標を持つ点の正方格子は、しばしばディオファントス平面と呼ばれます。数学的には、ディオファントス平面はすべての整数の環の直積です。 ディオファントス図形の研究では、すべてのペアワイズ距離が整数になるようにディオファントス平面のノードを選択することに焦点を当てています。 ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$

粗い幾何学では、整数格子はユークリッド空間と大まかに同等です。

ピックの定理は、 1899年にゲオルク・アレクサンダー・ピックによって初めて説明され、すべての頂点が2次元整数格子上にある単純な多角形の面積を、その内部と境界上の整数点の数で表す公式を提供します。 ^[1]

多角形の内部にある整数点の数を とし、境界上の整数点の数（頂点と辺に沿った点の両方を含む）を とします。この多角形の面積は次のようになります。^[2] 示されている例には内部点と境界点があるため、面積は平方単位となります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$${\displaystyle i=7}$${\displaystyle b=8}$${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$

• 規則的なグリッド

• オールズ、CD、ラックス、アネリ、ダビドフ、ジュリアナ（2000）。数の幾何学。新数学図書館。第41巻。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-643-3。