数の幾何学

『数の幾何学』は数の幾何学に関する本です。数の幾何学は、格子の幾何学、つまり平面または高次元の点の繰り返し集合を使用して数論の結果を導き出す数学の分野です。この本は、 Carl D. Olds、 Anneli Cahn Lax、 Giuliana Davidoffによって書かれ、 2000 年にアメリカ数学協会によってAnneli Lax 新数学ライブラリ シリーズの第 41 巻として出版されました。

『数の幾何学』は、カリフォルニア州サンノゼ州立大学で働いていたニュージーランド生まれの数学者カール・D・オールズが1979年に死去するまで執筆中だった本の原稿に基づいています。アメリカ数学会の新数学図書館の編集者であるアンネリ・カーン・ラックス氏が編集を引き受けましたが、彼女が1999年に死去した時点で未完成のままでした。最終的にジュリアナ・ダビドフ氏がプロジェクトを引き継ぎ、2000年に出版しました。^{[1] [2]}

『数の幾何学』は比較的短く、^{[3] [4]} 2 つの部分に分かれています。第 1 部では数論を格子の幾何学に適用し、第 2 部では格子に関する結果を数論に適用します。^[1]第 1 部で取り上げるトピックには、格子のどの点によっても隔てられていない平行線間の最大距離と直線の傾きの関係、^[5] 格子多角形の面積とそれに含まれる格子点の数を関連付けるピックの定理、 ^[4]および平面の原点を中心とする円内の格子点を数えるガウス円問題などがあります。 ^[1]

第 2 部は、中心対称で面積 (または高次元では体積) が十分に大きい凸集合には必ず非ゼロの格子点が含まれるというミンコフスキーの定理から始まります。これは、1 つ以上の無理数を有理数で正確に近似する問題であるディオファントス近似に応用されます。格子の線形変換に関する別の章の後、本書では、2次形式の最小の非ゼロ値を見つける問題と、ラグランジュの 4 平方定理(すべての非負整数は 4 つの整数の平方の和として表せるという定理) を学習します。最後の 2 つの章では、面積のある有界平面領域は少なくとも格子点をカバーするように変換できるというブリッヒフェルトの定理と、ディオファントス近似の追加の結果を扱います。^[1]特にミンコフスキーの定理とブリッヒフェルトの定理に関する章は、評論家のフィリップ・J・デイビスによってこの本の「基礎石」と呼ばれています。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle \lceil A\rceil }$

ピーター・ラックスによる付録はガウス整数に関するものである。^{[6] 2つ目の付録は}円充填や高次元での球充填を含む充填問題のための格子ベースの手法に関するものである。^{[4] [6]}本書はヘルマン・ミンコフスキーとハンス・フレデリック・ブリヒフェルトの伝記で締めくくられている。^[6]

『数の幾何学』は中等学校および大学の数学の学生を対象としていますが、中等学校の学生には難しすぎるかもしれません。しかし、演習問題が含まれているため、授業での使用に適しています。^[3] 「解説的」、 「自己完結的」、^{「1」、「3」、「4」、}そして「読みやすい」と評されています。 ^[6]

しかし、評論家のヘンリー・コーンは、いくつかの校正ミスを指摘し、トピックの選択について不満を述べており、「興味深い事柄が深い結果と同等に扱われている」ことや、含まれていない有名な例がいくつか見落とされていることについても述べている。それにもかかわらず、彼は、この資料のより高度な扱いにまだ準備ができていず、「美しい数学」を見たい読者にこの本を推奨している。^[5]