オランダの書籍定理

意思決定理論、経済学、確率論において、ダッチブック論証とは、エージェントがダッチブックと呼ばれる一種の自己矛盾を避けるために合理的選択の公理を満たさなければならないことを示す一連の結果である。ダッチブックまたはマネーポンプは、保証された損失を保証する一連の賭けであり、つまりギャンブラーは何が起こってもお金を失うことになる。^[1]ダッチブックをもたらさない信念と選好の集合は首尾一貫していると言われる。

オランダの本の議論は、信念の確実性の度合いを探るために使われ、合理的なエージェントはベイズ主義者でなければならないことを示しています。^[2]言い換えれば、合理性には、確率の公理に従って動作するイベントに確率を割り当てることと、フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの公理を使用してモデル化できる選好を持つことが必要です。

経済学では、エージェントが実際の報酬なしに「お金を燃やす」状況を排除することで行動をモデル化するために使用されます。これらの仮定に基づくモデルは、合理的選択モデルと呼ばれます。これらの仮定は、意思決定の 行動モデルでは弱められます。

この思考実験は、ベイズ確率を正当化するためにイタリアの確率学者ブルーノ・デ・フィネッティによって最初に提案され、^{[要出典] 、}レナード・サベージによってさらに徹底的に研究され、合理的選択の完全なモデルへと発展しました。

ジョン・スミスが明日の選挙に勝ったら 1 ドル、勝てなければ 0 ドルを支払うという約束の価格を設定する必要があります。相手は、設定した価格でそのような約束を買うか、同じ価格でそのような約束を買うよう要求するかを選択できることがわかります。言い換えると、プレーヤー A はオッズを設定しますが、プレーヤー B はどちらに賭けるかを決定します。設定する価格は、賭けている命題に割り当てる「操作上の主観的確率」です。

ジョン・スミスが勝つ確率が 12.5% だとすると (これは恣意的な評価です)、7:1 のオッズを設定することができます。この恣意的な評価 (「運用上の主観的確率」) によって、賭けが成功した場合の配当が決まります。このオッズで 1 ドルを賭けると、1 ドルの損失 (スミスが負けた場合) または 7 ドルの利益 (スミスが勝った場合) が生じます。賭けの条件として 1 ドルを担保にした場合、賭けた人が賭けに勝った場合、その 1 ドルも賭けた人に返還されます。

標準的なオランダの本の議論は、合理的な主体はランダムな出来事に対して主観的な確率を持っている必要があり、これらの確率は標準的な確率の公理を満たしている必要があると結論付けています。言い換えれば、合理的な人であれば誰でも、さまざまな出来事に対して（定量的な）主観的な確率を割り当てる意思があるはずです。

この議論は、エージェントが伝統的な意味でギャンブルに参加する意思があることを意味するものではないことに注意してください。ここで使用されている「賭け」という言葉は、不確実性の下でのあらゆる種類の決定を指します。たとえば、スーパーマーケットで見慣れない商品を購入することは、一種の「賭け」（購入者は商品が優れていることに「賭ける」）であり、車に乗ること（運転手が事故に巻き込まれないことに「賭ける」）も同様です。

オランダブックの議論は、ブックメーカーの視点を考慮することで逆転することができます。この場合、オランダブックの議論は、合理的なエージェントは、何らかのリスク、つまり不確実な賭けを受け入れる用意がなければならないことを示しています。そうでなければ、彼らは「無料ギフト」や「チェコブック」を拒否することもあります。これは、100% の確実性で利益を得られる一連の賭けです。^{[引用が必要]}

ある例では、ブックメーカーが以下のオッズを提示し、相対的な大きさによって結果が重要でなくなる各馬に 1 つの賭け金を集めました。暗黙の確率、つまり各馬が勝つ確率は合計すると 1 より大きくなり、ユニタリ性の公理に違反します。

この例では、どの馬が勝っても、ブックメーカーは 200 ドルを支払います (勝利金の返還を含む)。しかし、賭け手は 210 ドルを賭けたので、レースで 10 ドルの損失が発生します。

しかし、馬 4 が棄権し、ブックメーカーが他のオッズを調整しない場合、暗黙の確率は合計 0.95 になります。このような場合、ギャンブラーは残りの 3 頭の馬にそれぞれ 100 ドル、50 ドル、40 ドルを賭けることで常に 10 ドルの利益を得ることができ、棄権した馬に 20 ドルを賭ける必要がなくなります。この馬は勝てなくなります。

他の形式のダッチブックは、他の確率公理を確立するために使用することができ、時には、馬がどの順位でゴールするかを予想するなど、より複雑な賭けが含まれます。ベイズ確率では、フランク・P・ラムゼイとブルーノ・デ・フィネッティは、どのような賭け方をしても、ダッチブックが彼らに不利にならないように、個人の信念の度合いが一貫していることを要求しました。このための必要かつ十分な条件は、彼らの信念の度合いが確率公理のすべてを満たすことです。

結果に関係なく純利益が得られるようにさまざまな賭け金の価格を設定した人は、ダッチ ブックを作成したと言われます。ダッチ ブックを作成すると、対戦相手は必ず負けます。対戦相手にダッチ ブックを与えるような価格を設定する人は、合理的に行動していません。

ルールでは 1 ドルを超える価格設定は禁止されていませんが、賢明な対戦相手は高額のチケットを販売して、賭けの対象となったイベントの結果に関わらず対戦相手が利益を得る可能性があります。ルールではマイナスの価格設定も禁止されていませんが、対戦相手は、特定の不測の事態が発生した場合に後で支払うという約束を賭け手に引き出すことができます。いずれの場合も、価格を設定した側が負けます。これらの負け負けの状況は、確率が 1 (確実) を超えることも 0 (勝つ可能性なし) 未満になることもないという事実と似ています。

ここで、ボストン・レッドソックスが来年のワールドシリーズで優勝したら1ドル支払うという約束の価格、ニューヨーク・ヤンキースが優勝したら1ドル支払うという約束の価格、そして最後にレッドソックスかヤンキースのどちらかが優勝したら1ドル支払うという約束の価格を設定するとします。価格は次のように設定できます。

${\displaystyle {\text{Price}}({\text{Red Sox}})+{\text{Price}}({\text{Yankees}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox or Yankees}})\,}$

しかし、3 枚目のチケットの価格を最初の 2 枚のチケットの合計価格よりも低く設定した場合、賢明な反対者はそのチケットを購入し、他の 2 枚のチケットを価格設定者に販売するでしょう。3 つの可能な結果 (レッドソックス、ヤンキース、その他のチーム) を考慮すると、3 つの結果のどれが起こっても負けることがわかります。3 枚目のチケットの価格を他の 2 枚の価格の合計よりも高く設定した場合も、同様の運命が待っています。これは、相互に排他的なイベントの確率は加算的であるという事実と類似しています (確率公理を参照)。

ここで、より複雑なシナリオを想像してください。3 つの約束の価格を設定する必要があります。

• レッドソックスが明日の試合に勝ったら1ドル支払う：この約束の購入者は、レッドソックスが勝てなかった場合、その失敗が試合の敗北によるものか、試合の中止によるものかにかかわらず、賭け金を失う。
• レッドソックスが勝った場合は1ドルを支払い、試合が中止になった場合は約束した金額を返金する。
• 誰が勝ったかに関係なく、ゲームが完了したら 1 ドルを支払う。

3つの結果が考えられます。試合が中止になる、試合が行われレッドソックスが負ける、試合が行われレッドソックスが勝つ。価格を次のように設定することもできます。

${\displaystyle {\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}})}$

(上記の 2 番目の価格は、キャンセルの場合の払い戻しを含む賭け金の価格です)。(注: ここでの価格は、3 つのケースすべてで支払われる $1 で割ることによって得られる無次元数です。) 賢明な対戦相手は、3 つの変数に 3 つの線形不等式を書きます。変数は、3 つの約束のそれぞれに投資する金額です。価格設定者にその約束を購入させる場合は、これらのうちの 1 つの値が負になり、購入する場合は正になります。各不等式は、3 つの可能な結果のいずれかに対応します。各不等式は、対戦相手の純利益がゼロより大きいことを示しています。行列の行列式がゼロでない場合は、解が存在します。その行列式は次のとおりです。

${\displaystyle {\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})-{\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}}).}$

したがって、条件付き確率の最も単純な従来の特徴付けに類似した方法で価格を設定しない限り、慎重な相手は価格設定者を確実に敗者にすることができます。

2015年のケンタッキーダービーでは、人気馬（「アメリカンファラオ」）のオッズは5:2、2番人気馬は3:1、3番人気馬は8:1とアンテポストで設定されていました。他の馬のオッズは12:1以上でした。このオッズでは、出走馬18頭すべてに10ドルずつ賭けた場合、人気馬または2番人気馬のどちらかが勝ったとしても純損失となります。

しかし、12:1 以上のオッズが付けられた馬は勝たないと仮定し、上位 3 頭にそれぞれ 10 ドルずつ賭けると、少なくとも少額の勝利が保証されます。優勝候補馬 (実際に勝った馬) は 25 ドルの配当と返還された 10 ドルの賭け金で、最終残高は 35 ドル (5 ドルの純増) になります。2 番人気の馬が勝った場合、配当は 30 ドルと元の 10 ドルの賭け金で、純増は 10 ドルになります。3 番人気の馬が勝った場合、配当は 80 ドルと元の 10 ドルで、純増は 60 ドルになります。

この種の戦略は、上位 3 頭だけに関する限り、ダッチ ブックを形成します。ただし、18 人の候補者全員を考慮すると、このレースにはダッチ ブックは存在しません。

経済学において、消費者 X がダッチブッキングされる状況の典型的な例は、非推移的な選好を持っている場合です。古典的な経済理論では、選好は推移的であると想定されています。つまり、A が B より優れ、B が C より優れていると考える人は、A が C より優れていると考えなければなりません。さらに、選好の「循環」は存在し得ません。

マネーポンプ論は、誰かが一連の非自動詞的選好を保持している場合、市場から退出を余儀なくされるまで、お金を搾取（ポンプ）される可能性があると指摘しています。ジェーンが果物を買うために 20 ドルを持っていると想像してください。彼女はバスケットにオレンジかリンゴを入れることができます。ジェーンはリンゴよりも 1 ドル、オレンジよりもリンゴ、ドルよりもオレンジを好みます。ジェーンはドルよりもオレンジが欲しいので、オレンジを 1 ドル強（おそらく 1.10 ドル）で購入するつもりです。次に、オレンジよりもリンゴが欲しいので、オレンジをリンゴと交換します。最後に、リンゴよりもドルが欲しいので、リンゴを 1 ドルで売ります。この時点で、ジェーンには 19.90 ドルが残り、10 セント失って何も得られません。このプロセスは、ジェーンがお金がなくなるまで繰り返すことができます。 (ジェーンが本当にこれらの好みを持っている場合、彼女はこのプロセスに何の問題も見出さず、このプロセスを止めようともしないことに注意してください。ジェーンは、すべてのステップで、自分がより良い状態に置かれていることに同意します。) お金がなくなると、ジェーンは市場を離れ、彼女の好みと行動は経済的に関連性がなくなります。

行動経済学の実験では、被験者が賭けを比較する際に推移的選好の要件に違反する可能性があることが示されています。^[3]しかし、ほとんどの被験者は、矛盾が明らかに見える被験者内比較ではこれらの選択を行いません（言い換えれば、被験者は真に非推移的選好を持っているのではなく、ヒューリスティックを使用して選択を行う際に間違いを犯します）。

経済学者は通常、X のような選好を持つ人々は市場ですべての富を奪われると主張します。これが事実であれば、非推移性や、人々がダッチブッキングされるような他の特徴を持つ選好は観察されません。ただし、人々が非推移性についてある程度洗練されている場合、および/または裁定取引業者による競争によりイプシロンがゼロになる場合、非「標準的」な選好が依然として観察される可能性があります。

価格の集合が首尾一貫しているかどうかは、それが確率公理と包含排除原理などの関連する結果を満たすときに示されます。

• Bovens, Luc; Hartmann, Stephan (2003)。「一貫性」。ベイズ認識論。オックスフォード: クラレンドン プレス。pp. 28–55。ISBN 0-19-926975-0。
• カダネ、ジョセフ・B.（2020）。不確実性の原理。チャップマン＆ホール。pp.1–28。ISBN 978-1-138-05273-4。
• ラッド、フランク (1996)。操作的主観的統計手法:数学的、哲学的、歴史的入門。ニューヨーク: Wiley。ISBN 0-471-14329-4。
• マハー、パトリック (1993)。「科学における主観的確率」。理論への賭け。ケンブリッジ大学出版局。pp. 84–104。ISBN 052141850X。

• 「ベイズ認識論」
• スタンフォード哲学百科事典におけるオランダ語の本の議論。
• 賭けのオッズとしての確率、C. Caves によるレポート。
• DA フリードマン著「オランダの書籍論争に関する注釈」