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ヒルベルトの第5問題は、数学者デイヴィッド・ヒルベルトが1900年に公表した問題リストの5番目の数学問題であり、リー群の特徴付けに関するものである。
リー群理論は数学における連続対称性を記述するものであり、数学および理論物理学（例えばクォーク理論）におけるその重要性は20世紀を通じて着実に高まってきた。大まかに言えば、リー群理論は群論と位相多様体の理論の共通基盤である。ヒルベルトが提起した問題は、この点を厳密に定義すること、すなわち、滑らかな多様体に限定した場合、何か違いが生じるのかどうかという鋭い問いであった。
予想された答えは否定的だった（リー群論における最も中心的な例である古典群は滑らかな多様体である）。これは最終的に1950年代初頭に確認された。ヒルベルトは「多様体」という正確な概念を知らなかったため、この問題を現代の数学用語でどのように定式化するかについては議論の余地がある。
この問題の現代的な定式化（最も単純な解釈）は次のとおりです。[ 1 ]
ヒルベルトの問題に近い、合成法則によるこの問題の同等の定式化は次のようになります。[ 2 ]
この問題は、モンゴメリー＝ジッピンとグリーソンによって解決された。
より強い解釈（Gを抽象群ではなく変換群とみなす）は、多様体上の群作用に関するヒルベルト・スミス予想につながるが、これは完全な一般性においては未解決である。これは古典的には2次元多様体上の作用について知られており、最近ではジョン・パードンによって3次元についても解決された。[ 3 ]
最初の大きな成果は、 1933年のジョン・フォン・ノイマンによるもので、[ 4 ]コンパクト群に対して肯定的な答えを与えた。局所コンパクトアーベル群の場合は、1934年にレフ・ポントリャーギンによって解決された。最終的な解決は、少なくとも上記のヒルベルトの意図するところの解釈においては、 1950年代のアンドリュー・グリーソン、ディーン・モンゴメリー、レオ・ジッピンの研究によってもたらされた。
1953年、山辺秀彦は多様体ではないかもしれない位相群に関するさらなる結果を得た。[ a ]
ファン・ダンツィヒの定理によれば、すべての局所コンパクト群は、リー群の射影極限である開部分群を含む（この最後の記述は、 Tao (2014 、定理 1.1.17)ではグリーソン・ヤマベの定理と呼ばれている）。
この理論における重要な条件は、小さな部分群が存在しないことです。位相群G 、または上記のFのような群の部分的な部分は、 eの近傍Nに{ e }より大きい部分群が存在しない場合に、小さな部分群を持たないと言われます。たとえば、円群はこの条件を満たしますが、加法群としてのp進整数Z p は、すべての大きな整数 k に対して部分群 p k Z p が含まれるため、この条件を満たしません。これは、問題の難しさがどのようなものかを示しています。ヒルベルト・スミス予想の場合、これはZ p が閉多様体上に忠実に作用できるかどうかという既知の還元の問題です。グリーソン、モンゴメリー、ジッピンは、局所コンパクト群の中で、小さな部分群を持たないものとしてリー群を特徴付けました。
研究者たちは、有限次元性を仮定せずにヒルベルトの第5問題についても検討してきた。これはペル・エンフロの博士論文の主題であり、彼の研究はベニャミニとリンデンシュトラウス（2000 、第17章）で論じられている。