q-ガウス分布

標準qガウス分布の確率密度関数は ^{[ 3 ]である。}

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

どこ

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

はq指数関数であり、正規化係数である。${\displaystyle C_{q}}$は

$${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

$${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$$

注意してください。${\displaystyle q<1}$q-ガウス分布は、有界確率変数の確率密度関数です。

のために${\displaystyle 1<q<3}$累積密度関数は^{[ 5 ]}

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

どこ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$は超幾何関数です。超幾何関数は| z | < 1で定義されますが、xは非有界であるため、パフ変換を使用できます。

のために${\displaystyle q<1}$、 $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

興味深い代替エントロピーの形式によって正当化できる一方で、統計的には、1908 年に W. Gosset が小標本統計を記述するために導入したスチューデントのt分布のスケーリングされた再パラメータ化である。Gosset の元のプレゼンテーションでは、自由度パラメータν は 標本サイズに関連する正の整数に制限されていたが、Gosset の密度関数はνのすべての実数値に対して有効であることが容易に観察される。^{[ 6 ]}スケーリングされた再パラメータ化では、 νに関連する代替パラメータqとβが導入される。

自由度νのスチューデントのt分布が与えられた場合、等価なqガウス分布は次のようになる。

$q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ ただし }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

逆

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

いつでも${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$この関数は、単にスチューデントのt分布をスケーリングしたものです。

この分布は、スチューデントのt分布を負の自由度や非整数の自由度に一般化したものだと主張されることがある。しかし、スチューデントのt分布の理論は、すべての実数の自由度に容易に拡張でき、 ν < 0の場合、分布のサポートは無限ではなくコンパクトになる。

ゼロを中心とする多くの分布と同様に、q-ガウス分布は位置パラメータμを含むように簡単に拡張できます。密度は次のように定義されます。

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

散逸性光格子中の冷原子の運動量分布はqガウス分布であることが示されている。^{[ 9 ]}

q-ガウス分布は、2つの力を受ける質量の一次元運動の位置の漸近確率密度関数としても得られます。1つは、次のタイプの決定論的力です。${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$（無限ポテンシャル井戸の決定）および確率的白色雑音力${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$、 どこ${\displaystyle \xi (t)}$はホワイトノイズです。過減衰/小質量近似では、上記の収束は で失敗することに注意してください。${\displaystyle q<0}$最近示されたように。^{[ 10 ]}

ニューヨーク証券取引所、NASDAQ、その他の市場における金融収益の分布は、q-ガウス分布として解釈されてきた。^{[ 11 ] [ 12 ]}