準指数分布（ライトテール）

確率論では、指数分布の定義の1つは、その裾が指数関数的、またはより速く減少する確率分布である。実数値分布は、ランダム変数に対して、 ${\displaystyle {\cal {D}}}$${\displaystyle X\sim {\cal {D}}}$

${\displaystyle {\mathbb {P}}(|X|\geq x)=O(e^{-Kx})}$、 が大きく、ある定数の場合。${\displaystyle x}$${\displaystyle K>0}$

確率変数の指数ノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\psi _{1}}}$

${\displaystyle \|X\|_{\psi _{1}}:=\inf \ \{K>0\mid {\mathbb {E}}(e^{|X|/K})\leq 2\},}$ここで、最小値は、そのような値が存在しない場合に取得されます。${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle K}$

これはオルリッツノルムの例である。分布が準指数分布となるための同等の条件は^[1]である^：§2.7${\displaystyle {\cal {D}}}$${\displaystyle \|X\|_{\psi _{1}}<\infty .}$

指数関数性は、次のように表現することもできる: ^{[1] : §2.7}

1. ${\displaystyle {\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq 2e^{-Kx},}$すべてのとある定数に対して。${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle K>0}$
2. ${\displaystyle {\mathbb {E}}(|X|^{p})^{1/p}\leq Kp,}$すべてのとある定数に対して。${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle K>0}$
3. ある定数に対して、すべての に対して。${\displaystyle K>0}$${\displaystyle {\mathbb {E}}(e^{\lambda |X|})\leq e^{K\lambda }}$${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1/K}$
4. ${\displaystyle {\mathbb {E}}(X)}$存在し、ある定数に対して、すべてのに対して。${\displaystyle K>0}$${\displaystyle {\mathbb {E}}(e^{\lambda (X-{\mathbb {E}}(X))})\leq e^{K^{2}\lambda ^{2}}}$${\displaystyle -1/K\leq \lambda \leq 1/K}$
5. ${\displaystyle {\sqrt {|X|}}}$はガウス分布以下です。

• 高次元統計：非漸近的観点、Martin J. Wainwright、ケンブリッジ大学出版局、2019年、ISBN  9781108498029。