対数コーシー分布

ログ・コーシー

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \mu}$(本物) ( 本物 ) ${\displaystyle \displaystyle \sigma >0\!}$
サポート	${\displaystyle \displaystyle x\in (0,+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}},\ \ x>0}$
平均	無限
中央値	${\displaystyle e^{\mu }\,}$
分散	無限
歪度	存在しない
過剰尖度	存在しない
MGF の	存在しない

確率論において、対数コーシー分布は、対数がコーシー分布に従って分布するランダム変数の確率分布です。Xがコーシー分布に従うランダム変数である場合、Y = exp( X )は対数コーシー分布に従います。同様に、Yが対数コーシー分布に従う場合、X  = log( Y )はコーシー分布に従います。^[1]

対数コーシー分布は、自由度パラメータが1に等しい対数t分布の特殊なケースである。 ^[2]

対数コーシー分布の確率密度関数は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}},\ \ x>0\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0\end{aligned}}}$

ここで は実数、 です。 [ ^{1] [3]}が既知の 場合、スケールパラメータは です。^[1]および は、関連するコーシー分布の位置パラメータとスケールパラメータに対応します。 ^{[1] [4]}一部の著者は、 と をそれぞれ対数コーシー分布の位置パラメータとスケールパラメータとして定義しています。 ^[4]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle e^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

およびの場合、標準コーシー分布に対応して、確率密度関数は次のように簡約されます。^[5]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{x\pi [1+(\ln x)^{2}]}},\ \ x>0}$

累積分布関数（cdf）は、次の通りである。^[5]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

およびのときの生存関数は次のようになる: ^[5]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

およびの場合のハザード率は次の通りです: ^[5]${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left\{{\frac {1}{x\pi \left[1+\left(\ln x\right)^{2}\right]}}\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right]\right\}^{-1},\ \ x>0}$

ハザード率は分布の初めと終わりに減少しますが、ハザード率が増加する区間が存在する可能性があります。^[5]

対数コーシー分布は、裾が重い分布の一例です。^{[6]一部の著者は、}パレート分布型の裾が重い、つまり対数的に減少する裾を持つため、これを「超裾が重い」分布と見なしています。^{[6] [7]}コーシー分布と同様に、対数コーシー分布の 非自明なモーメントはどれも有限ではありません。 ^[5] 平均はモーメントであるため、対数コーシー分布には定義された平均または標準偏差がありません。^{[8] [9]}

対数コーシー分布は、いくつかのパラメータでは無限に割り切れますが、他のパラメータでは割り切れません。 ^[10]対数正規分布、log-t分布またはlog-スチューデント分布、ワイブル分布 と同様に、対数コーシー分布は、第2種一般化ベータ分布の特殊なケースです。^{[11] [12]対数コーシーは、実際にはlog-t分布の特殊なケースであり、コーシー分布が自由度1の}スチューデントのt分布 の特殊なケースであるのと似ています。^{[13] [14]}

コーシー分布は安定分布なので、対数コーシー分布は対数安定分布です。^[15] 対数安定分布はx=0に極を持ちます。 ^[14]

標本の自然対数の中央値はの堅牢な推定値です。^[1]標本の自然対数の絶対偏差の中央値 はの堅牢な推定値です。^[1]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

ベイズ統計学では、対数コーシー分布は、不適正な ジェフリーズ-ハルデイン密度 1/k を近似するために使用できます。これは、推定される正のパラメータである k の事前分布として提案されることがあります。 ^{[16] [17]対数コーシー分布は、重大な}外れ値や極端な結果が発生する可能性が ある特定の生存プロセスをモデル化するために使用できます。^{[3] [4] [18]} 対数コーシー分布が適切なモデルになる可能性があるプロセスの例としては、HIVに感染してから病気の症状が現れるまでの時間があります。この時間は、人によっては非常に長くなることがあります。^[4]また、種の豊富さのパターン のモデルとしても提案されています。^[19]