Galton–Watson process

The Galton–Watson process, also called the Bienaymé-Galton–Watson process or the Galton-Watson branching process, is a branchingstochastic process arising from Francis Galton's statistical investigation of the extinction of family names.^[1][2] The process models family names as patrilineal (passed from father to son), while offspring are randomly either male or female, and names become extinct if the family name line dies out (holders of the family name die without male descendants).

Galton's investigation of this process laid the groundwork for the study of branching processes as a subfield of probability theory, and along with these subsequent processes the Galton–Watson process has found numerous applications across population genetics, computer science, and other fields.^[3]

There was concern amongst the Victorians that aristocratic surnames were becoming extinct.^[4]

In 1869, Galton published Hereditary Genius, in which he treated the extinction of different social groups.

Galton originally posed a mathematical question regarding the distribution of surnames in an idealized population in an 1873 issue of The Educational Times:^[5]

_{ある地域に}植民地を築いた大国（ここでは成人男性のみを対象とし、N人でそれぞれ異なる姓を持つ）について考察する。彼らの人口法則は、各世代において、成人男性の0 %は成人まで成長する男児を持たず、1%は₁人、₂ %は2人、そして5%は5人の男児を持つというものである。₍ 1) r世代後には、彼らの姓のうち何パーセントが消滅するか、(2) m人が同じ姓を持つケースがいくつあるかを求めよ。

ヘンリー・ウィリアム・ワトソン牧師は解決策を提示した。^{[ 6 ]}その後、彼らは1874年に「家族の絶滅確率について」と題する論文を英国およびアイルランド人類学研究所紀要（現在は王立人類学研究所紀要）に共同で執筆した。^{[ 7 ]}ガルトンとワトソンは、 IJ ビエネメによる以前の研究とは独立してこのプロセスを導き出したようである。^{[ 8 ]}彼らの解決策は不完全であり、それによると、すべての姓は確率1で絶滅する。

ビエネメは1845年にこの問題の解答を発表しており^{[ 9 ]}、後日導出過程を発表すると約束していたが、彼の解答が発表された記録はない。（ただし、Bru（1991）^{[ 10 ]}は証明を再構築したと主張している）。彼はエミール・リトレ^{[ 11 ]}とルイ＝フランソワ・ブノワストン・ド・シャトーヌフ（ビエネメの友人）^{[ 12 ] [ 13 ]に影響を受けた。}

クールノーは1847年に『代数と幾何学の対応関係の起源と限界について』第5章第36節で解を発表した。^{[ 14 ]}彼の定式化における問題は次のとおりである。宝くじを購入するギャンブラーを考える。各宝くじは1エキュの費用がかかり_、それぞれ確率k0、k1 、...、 km_で0、1 、... 、 mエキュが支払われる。ギャンブラーは第1ラウンドの前に1エキュを持っており、ギャンブルの各ラウンドで宝くじを購入するためにすべてのお金を使う。p n_を、ギャンブラーが( n +1)回目のギャンブルの前に破産する確率とする。p nの極限は何か_？

ロナルド・A・フィッシャーは1922年に遺伝学の観点から同じ問題を研究した。彼は姓の消滅ではなく、突然変異遺伝子が最終的に大規模な集団から消滅する確率を研究した。^{[ 15 ]}ホールデンは1927年にこの問題を解決した。 ^{[ 16 ]}

アグナー・クラルップ・エルランは、名門クラルップ家の一員であったが、その家系は断絶しつつあった。1929年、彼は死後、同じ問題を公表した（問題の横に彼の死亡記事が掲載されている）。エルランは子供を残さずに亡くなった。この問題は1930年にシュテフェンセンによって解決された。

詳細な歴史については、Kendall (1966 ^{[ 17 ]}および 1975 ^{[ 13 ]} ) および Albertsen ^{[ 18 ]}、また Simkin および Roychowdhury ^{[ 19 ]の第 17 節を参照してください。}

モデルのために、姓はすべての男児に父親から受け継がれると仮定します。ある男性の息子の数は、{ 0, 1, 2, 3, ... }の集合に分布する確率変数であるとします。さらに、異なる男性の息子の数は、すべて同じ分布を持つ独立した確率変数であると仮定します。       

すると、最も単純で実質的な数学的結論は、男性の息子の平均人数が1人以下であれば、その姓はほぼ確実に途絶え、1人より多ければ 、何世代にもわたって存続する確率はゼロではないということである。

絶滅確率が高いことの必然的な帰結として、ある系統が生き残った場合、少なくとも他の個体群と比較して、初期世代において異常に高い成長率を経験した可能性が高いということが挙げられる。これは純粋に偶然によるものと考えられる。

ガルトン・ワトソン過程は確率過程である。${\displaystyle \lbrace X_{n}\rbrace _{n\in \mathbb {N} }}$これは漸化式に従って変化する${\displaystyle X_{0}=1}$そして

${\displaystyle X_{n+1}=\sum _{j=1}^{X_{n}}\xi _{j}^{(n)}}$

どこ${\displaystyle \{\xi _{j}^{(n)}:n,j\in \mathbb {N} \}}$は、互いに独立で同一の分布を持つ自然数値の確率変数の集合である。

姓との類推では、${\displaystyle X_{n}}$は、${\displaystyle n}$第1世代、そして${\displaystyle \xi _{j}^{(n)}}$は、${\displaystyle j}$これらの子孫の 番目。漸化式は、${\displaystyle (n+1)}$第 1 世代は、すべての世代の合計です。${\displaystyle n}$第 1 世代の子孫、その子孫の子供の数。

絶滅確率（すなわち最終的な絶滅確率）は次のように表される。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=0).\,}$

個体群の各メンバーがちょうど1人の子孫を持つ場合、これは明らかにゼロになります。この場合（通常は自明な場合と呼ばれる）を除けば、次のセクションで説明する単純な必要十分条件が存在します。

非自明なケースでは、最終的な絶滅の確率は${\displaystyle 1}$もし${\displaystyle \mathbb {E} \left[\xi _{1}\right]\leq 1}$そしてそれは厳密に以下より小さい${\displaystyle 1}$もし${\displaystyle \mathbb {E} \left[\xi _{1}\right]>1}$。

この過程は、確率母関数法を用いて解析的に扱うことができる。

子供の数$\displaystyle \xi _{j}}$各ノードは、パラメータを持つポアソン分布に従います。${\displaystyle \lambda }$総絶滅確率については、特に単純な漸化式が見出される。${\displaystyle x_{n}}$一度に1人の個人から始まるプロセスの場合${\displaystyle n}$:

${\displaystyle x_{n+1}=e^{\lambda (x_{n}-1)},\,}$

上記の曲線が得られます。

上述の古典的なガルトン＝ワトソン式家系図では、男性のみを考慮すれば十分である。なぜなら、男性のみが家系を子孫に伝えるからである。これは事実上、生殖を無性生殖としてモデル化できることを意味する。（同様に、ミトコンドリアの伝達を分析する場合、女性のみを考慮すれば十分である。なぜなら、女性のみがミトコンドリアを子孫に伝えるからである。）

実際の有性生殖により近いモデルは、いわゆる「両性ガルトン・ワトソン過程」であり、ここではカップルのみが生殖を行う。 （この文脈における両性は、関与する性別の数を指し、性的指向を指すものではない。）この過程では、各子供は互いに独立して、特定の確率で男性または女性であると想定され、いわゆる「交配関数」によって、特定の世代で形成されるカップルの数が決まります。これまでと同様に、異なるカップルの生殖は互いに独立していると考えられます。ここで、自明なケースの類似例は、各男性と女性がちょうど1組のカップルで生殖し、男性と女性の子孫がそれぞれ1人ずつ生まれ、交配関数が男性と女性の数の最小値をとる場合（次の世代以降は同じ数になる）に対応します。

世代内の総繁殖数が交配機能に大きく依存するようになったため、古典的なガルトン・ワトソン過程の場合のように、最終的な絶滅のための単純な必要十分条件は一般には存在しない。 しかし、非自明なケースを除けば、平均繁殖数の概念（Bruss (1984)）によって、最終絶滅のための一般的な十分条件が定義され、これについては次の節で述べる。

ガルトン＝ワトソン過程の歴史的事例を挙げるのは、姓の歴史が理論モデルから大きく逸脱することが多いため、複雑です。特に、新しい姓が作られることもあり、既存の姓は生涯を通じて変更されることもあり、歴史的に見ても、人々は無関係の人物、特に貴族の姓を名乗ることがよくありました。したがって、現在少数の姓しか存在しないことは、姓が時間の経過とともに消滅したこと、あるいは家系が途絶えたことによって消滅したことの証拠にはなりません。そのためには、過去にはより多くの姓が存在し、家系が途絶えたために消滅したのであって、家臣が主君の姓を名乗るなど、他の理由で姓が変わったのではないことが必要です。

中国の名前は、姓の消滅のよく研究された例です。姓の採用が一般的になってから2000年以上経った現在、中国で使用されている姓は約3100しかありません。これは、過去に記録された約12000の姓と比較すると非常に少ない数です。^{[ 20 ] [ 21 ]}人口の22%が李、王、張の姓を共有しており（約3億人）、上位200の姓（6.5%）が人口の96%を占めています。姓は、支配者の名前を名乗る、綴りの簡略化、皇帝の名前の文字を使用することに対するタブーなど、さまざまな理由で変化したり消滅したりしています。^{[ 21 ]}姓の系統が途絶えることは、姓の消滅の一因である可能性がありますが、決して唯一の要因でも重要な要因でもありません。実際、姓の頻度に影響を与える最も重要な要因は、漢民族であると自認し、漢の名前を採用する他の民族グループです。^{[ 21 ]}さらに、さまざまな理由で新しい名前が生まれている一方で、古い名前が消えていくことでその数は相殺されている。^{[ 21 ]}

対照的に、一部の国ではごく最近になって姓を採用するようになった。これは、これらの国では姓が長期間にわたって消滅したことがないということと、古代のような人口が少ない時代ではなく、比較的人口が多かった時代に姓が採用されたことを意味する。^{[ 21 ]}さらに、これらの姓はしばしば独創的に選ばれており、非常に多様である。例としては、次のものがある。

• 一般的に使われるようになった日本の名前は、19世紀後半の明治維新（当時の人口は3000万人を超えていた）以降に登場したもので、10万種類以上の姓があり、非常に多様で、政府は夫婦が同じ姓を使うことを制限している。近年の研究によると、江戸時代の日本の庶民は公式の姓を持たず、各自が自由に私的な姓を採用していたことが明らかになっている。明治維新で新たに作られた姓はごく少数であったことも明らかになっている。^{[ 22 ]}
• 多くのオランダ人の名前には、19世紀初頭のナポレオン戦争以降、正式な姓が含まれるようになりました。それ以前は、姓は父称^{[ 23 ]}（例：Jansen = ジョンの息子）、個人の特徴（例：de Rijke = 裕福な人）、地理的な場所（例：van Rotterdam）、職業（例：Visser = 漁師）に由来し、時にはそれらを組み合わせたものもありました（例：Jan Jansz van Rotterdam）。オランダの姓は68,000以上あります。
• タイの名前には1920年以降、姓が含まれるようになり、一つの姓は一つの家族しか使用できないため、タイの名前は非常に多く存在します。さらに、タイ人は比較的頻繁に姓を変更するため、分析は複雑になります。

一方、姓の集中度が高い例の中には、主にガルトン＝ワトソン過程によるものではないものもある。

• ベトナムの姓は約100種類あり、人口の60%が3つの姓を共有している。グエンという姓だけでもベトナム人口の約40%が使用しており、15種類の姓は90%が共有している。しかし、グエンという姓の歴史が示すように、これは人々に強制的に付けられたり、遺伝的な関係とは無関係な理由で採用されたりしたことが少なからず影響している。

現代の応用例としては、新たな変異遺伝子の生存確率、核連鎖反応の開始、疾病発生の初期世代における動態、あるいは小規模な生物集団の絶滅確率などが挙げられる。

• 分岐プロセス
• リソース依存型分岐プロセス
• 家系崩壊

• ハリス、セオドア・エドワード (1963)。分岐プロセスの理論(PDF)。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  119. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-642-51868-3。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

• ヨーク大学のピーター・M・リーによる「単一突然変異体の生存」
• 単純なガルトン・ワトソン法：古典的アプローチ、ミュンスター大学