リソース依存の分岐プロセス

分岐プロセス( BP) (Jagers (1975) を参照) は、集団の発展を記述する数学モデルです。ここでの集団とは、一般的な意味でのもので、人間の集団、動物の集団、細菌、生物学的な意味で繁殖するその他のもの、カスケード プロセス、物理的な意味で分裂する粒子などが含まれます。BP 集団のメンバーは、個体または粒子と呼ばれます。

繁殖の時期が離散的である場合 (通常は 1、2、... で示される)、時点nに存在し時点n +1まで生存する個体の全体は、^第n世代を形成すると考えられます。単純な BP は、初期状態 (時点 0 の個体数) と繁殖法則によって定義され、通常はp _k、k = 1、2、...で示されます。

リソース依存分岐プロセス (RDBP) は、個体が生存し、繁殖するために働かなければならないと想定される集団の発展をモデル化する離散時間 BP です。集団は社会形態を決定します。社会形態は、利用可能なリソースを個体間で分配するルールを決定します。この目的のために、RDBP には少なくとも 4 つの追加モデル コンポーネント、つまり、リソースに対する個体の需要、次世代のための新しいリソースの作成、リソースを分配するポリシーの概念、および社会との相互作用に対する個体の制御オプションを組み込む必要があります。

（離散時間）資源依存分岐過程は、非負整数上で定義される 確率過程Γであり、BPは次のよ​​うに定義される。

• 初期状態Γ ₀ ;
• 個体の繁殖の法則。
• 個人による資源の創造の法則。
• 個人の資源需要（請求）の法則。
• 人口内に存在する個人に利用可能な資源を分配する政策
• 個人と社会の交流のツール。

RDBP は (より広い意味で) いわゆる制御された分岐プロセスと見なすことができます。これらは、さまざまな社会構造をモデル化し、さまざまな形態の人間社会の利点と欠点を比較することを目的として、 F. Thomas Bruss (1983) によって導入されました。これらのプロセスでは、個人は社会と相互作用する手段を持ち、その手段によって、現在利用可能なリソースを個人間でどのように分配するかというルールが決定されます。この相互作用 (たとえば、移住の形態など) により、社会に残っている個人の有効再生産率が変わります。その点で、RDBP は、個人の独立した再生産の法則 ( Galton-Watson プロセスを参照) が現在の人口サイズの関数である、いわゆる人口サイズ依存BP (Klebaner (1984) および Klebaner & Jagers (2000) を参照) と共通する部分があります。

人間社会の現実的なモデルは両性生殖モードを求めているが、RDBP の定義では単に生殖法則について語られている。しかし、両性生殖プロセスに対する1 個体あたりの平均生殖率(Bruss 1984) という概念は、人間社会の長期的行動に関するすべての関連する質問について、単純化のために無性生殖を想定することが正当化されることを示す。これが、Klebaner (1984) および Jagers & Klebaner (2000) の特定の制限結果が RDBP に適用される理由である。時間における人間社会の発展のモデルは、さまざまなコンポーネント間の相互依存性を考慮する必要がある。このようなモデルは一般に非常に複雑で、扱いにくくなるリスクがある。このため、(単一の) 現実的な RDBP で社会の発展をモデル化するのではなく、関連する短期 RDBP のシーケンスを定義する一連の制御アクションによってモデル化しようとするアイデアが生まれた。

あらゆる社会の発展のガイドラインとして、2 つの特別なポリシーが際立っています。その 2 つのポリシーは、いわゆる 最弱優先ポリシー(wf ポリシー) と、いわゆる最強優先ポリシー(sf ポリシー) です。

wf ポリシーは、蓄積されたリソース スペースが許す限り、各世代で、常に最小の個別要求を持つ個人を優先してサービスを提供するというルールです。sfポリシーは、蓄積されたリソース スペースが十分である限り、常に最大の個別リソース要求を優先して各世代でサービスを提供するというルールです。これらのポリシーを厳密に適用する社会は、それぞれ wf 社会、sf 社会と呼ばれます。

BP 理論では、プロセスの長期的存続が可能かどうかを知ることが重要です。RDBP の場合、この質問は、個人が大きな影響力を持つ機能、つまりリソー​​スを分配するポリシーにも大きく依存します。

させて：

m =個体あたりの平均繁殖数（子孫数）

r =個人あたりの平均生産量（資源創出量）

F =クレーム（リソース）の個別確率分布

さらに、資源要求を得られなかったすべての個体は、繁殖前に死亡するか移住すると仮定します。すると、順序統計量の合計に対する予想停止時間 (1991) の結果を使用して、m、r 、およびFの関数として、 wf 社会と sf 社会の両方の生存基準を明示的に計算できます。

RDBP に関して知られている最も強力な結果は、社会の包絡定理です (Bruss および Duerinckx 2015)。これは、長期的には、生き残りたいと望み、個人が一般に低い生活水準よりも高い生活水準を好む社会は、長期的には wf 社会と sf 社会の間で生き残ることになるというものです。 なぜこれが正しいのかという直感は間違っています。数学的な証明は、順序統計量の合計の予想停止時間 (1991) に関する前述の結果と、モデルの仮定とランダム変数の収束に関するさまざまな概念の間の微調整されたバランス調整に依存します。

• 制御された分岐プロセス
• 両性ゴルトン・ワトソン過程
• ブルス・デュリンクスの定理

• ジェイガース、ピーター（1975年）。「分岐プロセスと生物学的応用」ロンドン：ワイリー・インターサイエンス[ジョン・ワイリー＆サンズ]。
• Bruss, F. Thomas (1983). 「リソース依存分岐プロセス」.確率過程とその応用. 16 : 36.
• Bruss , F. Thomas ( 1984)。「両性ガルトン-ワトソン過程の消滅基準に関する注記」。応用確率ジャーナル。21 :915-919。doi :10.2307/3213707。
• Klebaner, Fima C. (1984). 「集団サイズ依存の分岐プロセスについて」.応用確率論の進歩. 16 : 30–55. doi :10.2307/1427223.

• Bruss, F. Thomas; Robertson, James (1991). 「IID ランダム変数の順序統計量の合計に関する Wald の補題」.応用確率論の進歩. 23 : 612–623. doi :10.2307/1427625.
• Jagers, Peter; Klebaner, Fima C. (2000). 「人口規模依存および年齢依存の分岐プロセス」.確率過程とその応用. 87 : 235–254. doi :10.1016/s0304-4149(99)00111-8.
• Bruss, F. Thomas; Duerinckx, Mitia (2015). 「資源依存分岐プロセスと社会のエンベロープ」Annals of Applied Probability . 25 : 324–372. arXiv : 1212.0693 . doi :10.1214/13-aap998.