マクマホンのマスター定理

数学において、マクマホンのマスター定理( MMT ) は、列挙的組合せ論と線型代数学における結果です。パーシー・マクマホンによって発見され、彼のモノグラフ「組合せ解析」 (1916) で証明されました。二項式恒等式、最も有名なのはディクソンの恒等式を導くためによく使用されます。

論文の中で、マクマホンは自分の研究結果の応用が非常に多いことを発見し、それを「順列理論におけるマスター定理」と呼んだ。彼はそのタイトルを次のように説明した。「マスター定理というのは、他の方法では解決が難しいさまざまな問題を、見事かつ迅速に扱うところからきている。」

この結果は（出典を明記して）何度も再導出されているが、最も有名なのは IJ Goodによるもので、彼はこれをラグランジュの反転定理の多重線型一般化から導出している。MMT はまた、指数級数バージョンを発見したCarlitzによっても普及した 。1962年、Good は MMT から Dixon の恒等式の簡潔な証明を見つけた。1969年、CartierとFoata は、代数的および全単射的なアイデア（Foata の論文に基づく）と、単語の組合せ論へのさらなる応用を組み合わせ、トレースの概念を導入することで、MMT の新しい証明を見つけた。それ以来、MMT は列挙組合せ論の標準的なツールとなっている。

さまざまなq -Dixon 恒等式は、Krattenthaler–Schlosser 拡張 (1999) を除いて数十年にわたって知られてきましたが、MMT の適切なq-類似体は依然として不明でした。Garoufalidis–Lê–Zeilberger の量子拡張 (2006) の後、Foata–Han、Konvalinka–Pak、Etingof–Pak によって、いくつかの非可換拡張が開発されました。Koszul代数と準行列式とのさらなる関係も、Hai–Lorentz、Hai–Kriegk–Lorenz、Konvalinka–Pak らによって発見されました。

最後に、JD Louck によれば、理論物理学者の Julian Schwinger は、多粒子系の角運動量理論に対する生成関数アプローチの文脈で MMT を再発見しました。Louck は次のように書いています。

マクマホンマスター定理は、より基本的な構成要素から構成される2元系の複合系の角運動量特性を統一するものである。^[1]

を複素行列とし、を形式変数とする。係数を考える。${\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times m}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$

${\displaystyle G(k_{1},\dots ,k_{m})\,=\,{\bigl [}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}{\bigr ]}\,\prod _{i=1}^{m}{\bigl (}a_{i1}x_{1}+\dots +a_{im}x_{m}{\bigl )}^{k_{i}}.}$

（ここで、 という表記は「における単項式の係数」を意味します。）を別の形式変数の集合とし、 を対角行列とします。すると、 ${\displaystyle [f]g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{m}}$${\displaystyle T=(\delta _{ij}t_{i})_{m\times m}}$

${\displaystyle \sum _{(k_{1},\dots ,k_{m})}G(k_{1},\dots ,k_{m})\,t_{1}^{k_{1}}\cdots t_{m}^{k_{m}}\,=\,{\frac {1}{\det(I_{m}-TA)}},}$

ここで、和はすべての非負整数ベクトルにわたっており、サイズ の単位行列を表します。 ${\displaystyle (k_{1},\dots ,k_{m})}$${\displaystyle I_{m}}$${\displaystyle m}$

行列を考える

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}}.}$

定義から直接 係数G (2 n , 2 n , 2 n )を計算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}G(2n,2n,2n)&={\bigl [}x_{1}^{2n}x_{2}^{2n}x_{3}^{2n}{\bigl ]}(x_{2}-x_{3})^{2n}(x_{3}-x_{1})^{2n}(x_{1}-x_{2})^{2n}\\[6pt]&=\,\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}^{3},\end{aligned}}}$

ここで最後の等式は、右側の項に次の係数の積があることから導かれます。

${\displaystyle [x_{2}^{k}x_{3}^{2n-k}](x_{2}-x_{3})^{2n},\ \ [x_{3}^{k}x_{1}^{2n-k}](x_{3}-x_{1})^{2n},\ \ [x_{1}^{k}x_{2}^{2n-k}](x_{1}-x_{2})^{2n},}$

これらは二項定理から計算されます。一方、行列式を明示的に計算することもできます。

${\displaystyle \det(I-TA)\,=\,\det {\begin{pmatrix}1&-t_{1}&t_{1}\\t_{2}&1&-t_{2}\\-t_{3}&t_{3}&1\end{pmatrix}}\,=\,1+{\bigl (}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{3}{\bigr )}.}$

したがって、MMT では、同じ係数に対して新しい式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}G(2n,2n,2n)&={\bigl [}t_{1}^{2n}t_{2}^{2n}t_{3}^{2n}{\bigl ]}(-1)^{3n}{\bigl (}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{3}{\bigr )}^{3n}\\[6pt]&=(-1)^{n}{\binom {3n}{n,n,n}},\end{aligned}}}$

ここで最後の等式は、べき乗の3つの項すべてを同じ回数使用する必要があるという事実から導かれます。係数G (2 n , 2 n , 2 n )の2つの式を等しくすると、Dixonの等式と同じバージョンが得られます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}^{3}=(-1)^{n}{\binom { 3n}{n,n,n}}.}$

• 永続

• PAマクマホン、「組み合わせ分析」第1巻および第2巻、ケンブリッジ大学出版局、1915-16年。
• グッド、IJ (1962) 「マクマホンの『マスター定理』の簡単な証明」「ケンブリッジ哲学協会紀要. 58 (1): 160. Bibcode :1962PCPS...58..160G. doi :10.1017/S0305004100036318. S2CID  124876088. Zbl  0108.25104.
• グッド、IJ (1962)。「マクマホンの「マスター定理」によるいくつかの「二項式」恒等式の証明「ケンブリッジ哲学協会紀要. 58 (1): 161–162. Bibcode :1962PCPS...58..161G. doi :10.1017/S030500410003632X. S2CID  122896760. Zbl  0108.25105.
• P. Cartierおよび D. Foata、「交換と配置の問題の組み合わせ」、数学の講義ノート、第 1 号。 85、シュプリンガー、ベルリン、1969年。
• L. Carlitz、「マクマホンのマスター定理の応用」、SIAM応用数学ジャーナル26（1974）、431-436。
• IP GouldenおよびDM Jackson、「Combinatorial Enumeration」、John Wiley、ニューヨーク、1983 年。
• C. Krattenthalerと M. Schlosser、「多重 q 級数への応用を伴う新しい多次元行列逆行列」、Discrete Mathematics 204 (1999)、249–279。
• S. Garoufalidis、TTQ Lê、D. Zeilberger、「量子マクマホンマスター定理」、米国科学アカデミー紀要103 (2006)、第 38 号、13928–13931 (eprint)。
• M. Konvalinka とI. Pak、「マクマホンマスター定理の非可換拡張」、Advances in Mathematics 216 (2007)、第 1 号 (eprint)。
• D. Foata および G.-N. Han、「Garoufalidis-Lê-Zeilberger 量子マクマホンマスター定理の新しい証明」、 Journal of Algebra 307 (2007)、第 1 号、424–431 (eprint)。
• D. Foata および G.-N. Han、「量子マクマホンマスター定理の特殊化と拡張」、線形代数とその応用423 (2007)、第 2 ～ 3 号、445 ～ 455 ページ (eprint)。
• PH Hai と M. Lorenz、「Koszul 代数と量子 MacMahon マスター定理」、 Bull. Lond. Math. Soc. 39 (2007)、第 4 号、667–676 ページ (eprint)。
• P. Etingofと I. Pak、「マクマホンマスター定理の代数的拡張」、 アメリカ数学会紀要 136 (2008)、第 7 号、2279–2288 (eprint)。
• PH Hai、B. Kriegk、M. Lorenz、「N同次超代数」、J. Noncommut. Geom. 2 (2008) 1–51 (eprint)。
• JD Louck、「ユニタリー対称性と組み合わせ論」、World Sci.、ハッケンサック、ニュージャージー、2008年。