周波数変調

周波数変調（FM）は、 電子通信で使用される信号変調技術であり、元々は電波でメッセージを送信するために使用されていました。周波数変調では、搬送波の瞬時周波数が、音声信号などのメッセージ信号の特性、主に瞬時振幅に比例して変化します。^{[ 1 ]}この技術は、電気通信、ラジオ放送、信号処理、コンピューティングで使用されています。

音声や音楽のラジオ放送などのアナログ周波数変調では、瞬時周波数偏差、すなわち搬送波の周波数とその中心周波数との差は、変調信号の振幅と関数的な関係にある。

デジタルデータは、周波数シフトキーイング（FSK）と呼ばれる周波数変調方式を使用して符号化および送信できます。FSKでは、搬送波の周波数が離散的な値のセット間で切り替わります。最も単純な形式であるバイナリFSKでは、2つの周波数がバイナリシンボル0と1を表します。FSKは、そのシンプルさと堅牢性から、低～中程度のデータレートのアプリケーションで広く使用されています。一般的な用途としては、初期のコンピュータモデム（ファックスモデムなど）、電話発信者番号通知システム、ガレージドアオープナー、リモートキーレスエントリーシステム、無線テレタイプなどがあります。^{[ 2 ] [ 3 ]}

周波数変調は、FM放送で広く使用されています。また、テレメトリー、レーダー、地震探査、EEGによる新生児の発作のモニタリング^{[ 4 ]}、双方向無線システム、サウンドシンセシス、磁気テープ録音システム、および一部のビデオ伝送システムでも使用されています。無線伝送において、周波数変調の利点は、信号対雑音比が大きいため、等電力振幅変調（AM）信号よりも無線周波数干渉をより効果的に除去できることです。このため、ほとんどの音楽はFMラジオで放送されています。

周波数変調と位相変調は、角度変調の2つの相補的な主要方式です。位相変調は、周波数変調を実現するための中間段階としてよく用いられます。これらの方式は、搬送波の振幅が変化する一方で周波数と位相が一定に保たれる振幅変調とは対照的です。

ポール・ナヒンによれば、「マイクロフォン出力のベースバンド信号を送信アンテナに直接適用しても機能しません。なぜなら、オーディオ周波数の1/4波長アンテナは物理的に巨大だからです。適切なサイズのアンテナを実現するには、帯域幅スペクトルよりもかなり高い周波数の送信信号が必要です。つまり、ベースバンドスペクトルを無線周波数にアップシフトする必要があります。」^{[ 5 ]}これは信号変調と呼ばれます。ロン・ベルトランによれば、「周波数変調は搬送波を変調する方法であり、変調するオーディオによって搬送波の瞬時周波数が変化します。変調がない場合、FM送信機は単一の搬送周波数を生成します。」^{[ 6 ]}

周波数_ωcの正弦波搬送波によって生成されるFM信号は、振幅Aの周波数_ωaの音声トーンによって変調され、次のように表されます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}e(t)&=\sin \left(\omega _{c}t+kA\sin \left(\omega _{a}t\right)\right)\\\end{aligned}}}$

我々は瞬時周波数を必要とする。これは、オーディオトーン周波数で搬送周波数より上と下で変化する周波数を表し、カーソンの時間微分法を使用して導出する。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\omega _{c}t+kA\sin \left(\omega _{a}t\right)\right)&=\omega _{c}+kA\omega _{a}\cos \left(\omega _{a}t\right)\\\end{aligned}}}$

振幅係数 kAω _{a は、} ω _cを中心とした最大周波数偏差を定義します。ω _aで割ると、変調指数 kA が得られます^{[ 5 ]。}これは「周波数偏差の量と音声変調周波数の比」です^{[ 6 ] 。}

信号のエネルギーの大部分はf _c ± f _{Δ の範囲内に収まるが、}フーリエ解析によって、FM信号を正確に表現するにはより広い周波数範囲が必要であることが示される。実際のFM信号の周波数スペクトルは無限に広がる成分を持つが、その振幅は減少し、高次の成分は実際の設計問題ではしばしば無視される。^{[ 7 ]}

数学的には、ベースバンド変調信号は、周波数f _mの正弦波連続波信号で近似できます。この方法は、単一周波数変調とも呼ばれます。このような信号の積分は${\displaystyle x_{m}(t)=\cos(2\pi f_{m}t)}$は：

${\displaystyle \int _{0}^{t}x_{m}(\tau )d\tau ={\frac {\sin \left(2\pi f_{m}t\right)}{2\pi f_{m}}}\,}$

この場合、上記の y(t) の式は次のように簡略化されます。^{[ 8 ]}

${\displaystyle y(t)=A_{c}\cos \left(2\pi f_{c}t+{\frac {f_{\Delta }}{f_{m}}}\sin \left(2\pi f_{m}t\right)\right)\,}$

振幅${\displaystyle A_{m}\,}$変調正弦波のピーク偏差は${\displaystyle f_{\Delta }=K_{f}A_{m}}$（周波数偏差を参照）。

このような正弦波信号によって変調された正弦波搬送波の高調波分布はベッセル関数で表すことができ、これが周波数領域における周波数変調の数学的理解の基礎となる。^{[ 8 ]}

他の変調方式と同様に、変調指数は変調された変数が変調されていないレベルからどれだけ変化するかを示します。これは搬送波周波数の変化に関連しています。

${\displaystyle h={\frac {\Delta {}f}{f_{m}}}={\frac {f_{\Delta }\left|x_{m}(t)\right|}{f_{m}}}}$

どこ${\displaystyle f_{m}\,}$は変調信号x _m ( t )に含まれる最高周波数成分であり、${\displaystyle \Delta {}f\,}$ピーク周波数偏差とは、瞬時周波数が搬送波周波数からどれだけ大きくずれているかを示す値です。正弦波変調の場合、変調指数は搬送波のピーク周波数偏差と変調正弦波の周波数の比で表されます。 

もし${\displaystyle h\ll 1}$この変調方式は狭帯域FM（NFM）と呼ばれ、その帯域幅は約${\displaystyle 2f_{m}\,}$変調指数が時々${\displaystyle h<0.3}$ NFMとみなされ、その他の変調指数は広帯域FM（WFMまたはFM）とみなされる。^{[ 8 ]}

デジタル変調方式、例えばバイナリ周波数シフトキーイング（BFSK）のようにバイナリ信号で搬送波を変調する場合、変調指数は次のように表されます。

${\displaystyle h={\frac {\Delta {}f}{f_{m}}}={\frac {\Delta {}f}{\frac {1}{2T_{s}}}}=2\Delta {}fT_{s}\ }$

どこ${\displaystyle T_{s}\,}$は周期の記号であり、${\displaystyle f_{m}={\frac {1}{2T_{s}}}\,}$は慣例として変調バイナリ波形の最高周波数として使用されますが、より正確には変調バイナリ波形の最高基本周波数と言う方が適切です。デジタル変調の場合、搬送波は${\displaystyle f_{c}\,}$は決して送信されません。代わりに、2 つの周波数のいずれかが送信されます。${\displaystyle f_{c}+\Delta f}$または${\displaystyle f_{c}-\Delta f}$変調信号のバイナリ状態0または1に応じて。

もし${\displaystyle h\gg 1}$この変調方式は広帯域FMと呼ばれ、その帯域幅は約${\displaystyle 2f_{\Delta }\,}$広帯域FMはより多くの帯域幅を使用しますが、信号対雑音比を大幅に改善できます。たとえば、${\displaystyle \Delta {}f\,}$維持しながら${\displaystyle f_{m}}$定数の場合、信号対雑音比が8倍向上します。^{[ 9 ]}（これを、従来からよく知られているスペクトラム拡散モードに匹敵する処理利得を達成するために極めて広い周波数偏差を使用するチャープスペクトラム拡散と比較してください）。

トーン変調されたFM 波において、変調周波数を一定に保ち、変調指数を増加させると、FM信号の（無視できない）帯域幅は増加するが、スペクトル間の間隔は変わらない。一部のスペクトル成分の強度は減少し、他の成分の強度は増加する。周波数偏移を一定に保ち、変調周波数を増加させると、スペクトル間の間隔は増加する。

周波数変調は、搬送波周波数の変化が信号周波数とほぼ同じであれば狭帯域、搬送波周波数の変化が信号周波数よりもはるかに大きい場合（変調指数 > 1）であれば広帯域に分類できます。 ^{[ 10 ] [ 11 ]}例えば、狭帯域 FM (NFM) は、ファミリー ラジオ サービスなどの双方向無線システムに使用され、搬送波は中心周波数から上下 2.5 kHz だけずれることが許され、音声信号の帯域幅は最大 3.5 kHz です。広帯域 FM はFM 放送に使用され、音楽と音声は中心周波数から最大 75 kHz ずれて送信され、最大 20 kHz の帯域幅と最大 92 kHz のサブキャリアでオーディオが伝送されます。      

カーソンは1922年のFMに関する論文で、搬送波周波数が信号周波数によって変調されると、無限の数の側波帯が発生し、その振幅はベッセル関数で表されることを指摘した。側波帯の分離は変調信号の周波数によって決まり、振幅は変調指数に依存する。側波帯の振幅を決定するために、第一種ベッセル関数の表が用いられる。^{[ 6 ] [ 5 ]： 214}

単一の正弦波で変調された搬送波の場合、結果として得られる周波数スペクトルは、側波帯番号と変調指数の関数として、第1種ベッセル関数を使用して計算できます。搬送波と側波帯の振幅は、FM信号のさまざまな変調指数について示されています。変調指数の特定の値では、搬送波の振幅はゼロになり、信号電力はすべて側波帯にあります。^{[ 7 ]}

側波帯は搬送波の両側に存在するため、その数を2倍にし、変調周波数を掛けて帯域幅を求めます。たとえば、 2.2 kHz の音声トーンで変調された 3 kHz の偏移は、 変調指数 1.36 になります。相対振幅が 0.01 以上の側波帯のみに限定するとします。すると、チャートを調べると、この変調指数では 3 つの側波帯が生成されます。これらの 3 つの側波帯を 2 倍にすると、(6 × 2.2  kHz) または 13.2  kHz の必要な帯域幅が得られます。

経験則として、カーソンの法則は、周波数変調された信号が帯域幅内に収まることを述べている。${\displaystyle B_{T}\,}$の: ^{[ 8 ] : 146}

${\displaystyle B_{T}=2\left(\Delta f+f_{m}\right)=2f_{m}(h+1)}$

どこ${\displaystyle \Delta f\,}$は、上記で定義したように、瞬時周波数のピーク偏差である。${\displaystyle f(t)\,}$中心搬送周波数から${\displaystyle f_{c}}$、${\displaystyle h}$は変調指数であり、変調信​​号の最高周波数に対する周波数偏差の比であり、${\displaystyle f_{m}\,}$は変調信号の中で最も高い周波数です。カーソンの法則は正弦波信号にのみ適用できます。非正弦波信号の場合：

${\displaystyle B_{T}=2(\Delta f+W)=2W(D+1)}$

ここで、Wは変調信号中の最高周波数であり、非正弦波的な性質を持ち、Dは周波数偏差比であり、変調非正弦波信号の最高周波数に対する周波数偏差の比である。

FM は、例えばAMと比較して、信号対雑音比(SNR)が向上します。最適な AM 方式と比較すると、FM は通常、ノイズしきい値と呼ばれる特定の信号レベル以下では SNR が劣りますが、より高いレベル (完全改善または完全静穏化しきい値) を超えると、AM よりも SNR が大幅に向上します。この改善は、変調レベルと偏移に依存します。一般的な音声通信チャネルでは、通常 5～15 dB の改善が見られます。より広い偏移を使用した FM 放送では、さらに大きな改善が実現できます。FM 回路では、一般的に、より高いオーディオ周波数をプリエンファシスし、受信機で対応するデエンファシスを行うなどの追加技術を使用して、全体的な SNR を改善します。FM 信号は一定の振幅を持つため、FM 受信機には通常、AM ノイズを除去して SNR をさらに向上させるリミッターが備わっています。^{[ 12 ] [ 13 ]} 

• 連続波周波数変調レーダー
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• FM-UWB（FMおよび超広帯域）
• ラジオの歴史
• 変調（その他の変調技術の一覧については、こちらをご覧ください）

• Carlson, A. Bruce (2001).通信システム. 科学/工学/数学（第4 版）. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-011127-1。
• フロスト、ゲイリー・L. (2010).初期FMラジオ：20世紀アメリカにおける漸進的技術. メリーランド州ボルチモア：ジョンズ・ホプキンス大学出版局. ISBN 978-0-8018-9440-4。
• シーモア、ケン（ 2005） [ 1996]「周波数変調」『電子工学ハンドブック（第2 版）』CRC Press、pp. 1188–1200。ISBN  0-8493-8345-5。

• C Foh による、Google Colab プラットフォーム上で Python を使用したアナログ変調のオンラインインタラクティブデモンストレーション。