直接剛性法

直接剛性法を用いる際の最初のステップは、構造を構成する個々の要素を特定することである。

要素が特定されると、構造はノード、つまり異なる要素同士を接続する点で切り離される。

次に、各要素を個別に解析し、部材剛性方程式を導出します。力と変位は、要素の形状と特性に依存する要素剛性マトリックスを介して関連付けられます。

トラス部材は、圧縮力または引張力のみを伝達できます。つまり、2次元の場合、各節点は水平方向と垂直方向の2つの自由度（DOF）を持ちます。結果として得られる方程式には、4×4の剛性マトリックスが含まれます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

フレーム要素は、圧縮力と引張力に加えて、曲げモーメントにも耐えることができます。これにより、水平変位、垂直変位、面内回転の3つの自由度が生じます。この場合の剛性マトリックスは6×6です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

板やシェルなどの他の要素も直接剛性法に組み込むことができ、同様の方程式を開発する必要がある。

個々の要素の剛性関係が確立されたら、それらを元の構造に組み立てる必要があります。このプロセスの最初のステップは、個々の要素の剛性関係を構造全体のグローバルシステムに変換することです。トラス要素の場合、剛性法のグローバル形式は、グローバル座標系（このシステムは通常、従来のデカルト座標系です）に対する要素の角度に依存します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$（角度βのトラス要素の場合） 同様に、 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle c_{x}}$そして${\displaystyle c_{y}}$これらはトラス要素の方向余弦（つまり、部材に沿った単位ベクトルの成分）です。この形式は、この定式化に見られるパターンを単純に拡張することで、要素の剛性を3次元空間トラスに一般化する方法を示しています。

グローバル座標系で要素剛性マトリックスを作成した後、それらを単一の「マスター」または「グローバル」剛性マトリックスに統合する必要があります。これらのマトリックスを統合する際には、各節点における変位の適合性と力の平衡という2つの規則に従う必要があります。これらの規則は、要素節点変位をグローバル節点変位に関連付けることによって満たされます。

全体変位ベクトルと力ベクトルはそれぞれ、構造内の各自由度に対応する要素を1つずつ含んでいます。要素剛性行列は、全体変位ベクトルと荷重ベクトルに合わせて各行列を拡張または拡大することで統合されます。

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$（上記構造の要素（１）について）

最後に、個々の拡張要素行列を合計することによって、全体剛性行列が構築される。

グローバル剛性行列、変位ベクトル、および力ベクトルが構築されると、システムは単一の行列方程式として表現できる。

構造における各自由度について、変位または力のいずれかが既知である。

各自由度に既知の値を代入すると、マスター剛性方程式が完成し、評価の準備が整います。行列方程式を評価するには、コレスキー分解や連立方程式の総当たり評価など、さまざまな方法があります。構造物が適切に拘束されていない場合、力が加わると剛体運動を起こし、追加の支持条件が必要になります。

本節で説明する方法は、直接剛性法の概要を示すものです。プロセスの詳細、およびプロセスに内在する材料特性に関する仮定については、別途資料を参照してください。