有限ひずみ理論

粒子または物質点について考えてみましょう。${\displaystyle P}$位置ベクトル付き${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$変形前の状態では（図2）。物体が変位した後、粒子の新しい位置は次のように表される。${\displaystyle p}$新しい構成では、ベクトル位置によって与えられます${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$変形前と変形後の座標系は、便宜上重ね合わせることができる。

ここで重要な点を考えてみましょう。${\displaystyle Q}$近隣${\displaystyle P\,\!}$位置ベクトル付き${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$変形した構成では、この粒子は新しい位置にある。${\displaystyle q}$位置ベクトルによって与えられる${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$線分が${\displaystyle \Delta X}$そして${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$粒子を結合する${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$変形前と変形後の両方の構成において、それぞれが非常に小さい場合、それらを次のように表すことができます。${\displaystyle d\mathbf {X} }$そして${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$したがって、図2から次のことが言える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} ),\\\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} ),\\{\text{and}}{\text{ therefore}}&\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}},}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {du} }$は相対変位ベクトルであり、 の相対変位を表します。${\displaystyle Q}$に関して${\displaystyle P}$変形した形状において。

物体の時間依存変形を伴う計算では、変形勾配の時間微分を計算する必要があることが多い。このような微分の幾何学的に一貫した定義には微分幾何学^{[ 1 ]}への探求が必要となるが、本稿ではそれらの問題を避ける。

時間微分${\displaystyle \mathbf {F} }$は $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {V} }$は（物質）速度です。右辺の微分は物質速度勾配を表します。微分の連鎖律を適用して空間勾配に変換するのが一般的です。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$は空間速度勾配であり、${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$は空間速度（オイラー速度）${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$空間速度勾配が時間的に一定であれば、上記の式を厳密に解くと次の式が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ 想定${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$で${\displaystyle t=0}$上記の指数関数を計算する方法はいくつかあります。

連続体力学でよく用いられる関連量として、変形速度テンソルとスピンテンソルがあり、それぞれ次のように定義される。 $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$ 変形速度テンソルは線要素の伸縮速度を示し、スピンテンソルは運動の回転速度または渦度を示す。

変形勾配の逆数の物質時間微分（基準構成を固定したまま）は、有限ひずみを含む解析でしばしば必要となる。この微分は $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ 上記の関係は、物質時間微分をとることによって検証できる。${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$そして、${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$。

変形勾配${\displaystyle \mathbf {F} }$は、可逆な2階テンソルと同様に、極分解定理を使用して、2つの2階テンソルの積に分解できます（TruesdellとNoll、1965）：直交テンソルと正定値対称テンソル、すなわち、$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$テンソル${\displaystyle \mathbf {R} }$は適切な直交テンソルである。${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$そして${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$回転を表すテンソル${\displaystyle \mathbf {U} }$は右ストレッチテンソルであり、${\displaystyle \mathbf {V} }$左ストレッチテンソル。右と左という用語は、回転テンソルの右側と左側にあることを意味します。${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$、 それぞれ。${\displaystyle \mathbf {U} }$そして${\displaystyle \mathbf {V} }$両方とも正定値である、つまり${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$そして${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$すべての非ゼロに対して${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$、および対称テンソル、すなわち${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$そして${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$2次。

この分解は、線要素の変形が${\displaystyle d\mathbf {X} }$変形していない状態で${\displaystyle d\mathbf {x} }$変形した構成では、${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$、は、まず要素を伸ばすことによって得られる。${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$つまり${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$続いて回転${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$つまり、${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {R} \,d\mathbf {x} '\,\!}$または同等に、剛体回転を適用することによって${\displaystyle \mathbf {R} }$まず、つまり、${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$その後、ストレッチング${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$つまり、${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {V} \,d\mathbf {x} '}$（図3を参照）。

直交性のため${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ となることによって${\displaystyle \mathbf {U} }$そして${\displaystyle \mathbf {V} }$同じ固有値または主伸縮を持つが、異なる固有ベクトルまたは主方向を持つ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$そして${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$それぞれ。主方向は次のように関連付けられる。 $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

この極性分解は、${\displaystyle \mathbf {F} }$は正の行列式を持つ可逆行列であり、特異値分解の系である。

変形した形状の面積に関して定義された量を基準形状の面積に関する量に変換し、またその逆を行うために、ナンソンの関係式を使用します。$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$どこ${\displaystyle da}$変形した形状の領域の一部であり、${\displaystyle dA}$参照構成と同じ領域であり、${\displaystyle \mathbf {n} }$現在の構成では、領域要素の外向き法線であり、${\displaystyle \mathbf {N} }$は基準構成における外向き法線であり、${\displaystyle \mathbf {F} }$は変形勾配であり、${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$。

体積要素の変換に対応する式は次のとおりです。$${\displaystyle dv=J~dV}$$

1839年、ジョージ・グリーンは、右コーシー・グリーン変形テンソルまたはグリーン変形テンソルとして知られる変形テンソルを導入した（IUPACはこのテンソルをコーシーひずみテンソルと呼ぶことを推奨している）^{[ 3 ]} 。これは次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

物理的には、コーシー・グリーンテンソルは変形による局所的な距離の変化の二乗、すなわち${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

不変量${\displaystyle \mathbf {C} }$これらは、ひずみエネルギー密度関数の式でよく使用されます。最も一般的に使用される不変量は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$変形勾配の決定要因である${\displaystyle \mathbf {F} }$そして${\displaystyle \lambda _{i}}$これらは、右（基準）伸長テンソルの固有ベクトル方向に沿って初期配向している単位繊維の伸長比です（これらは一般的に座標系の3軸とは一致しません）。

IUPACは^{[ 3 ]}右コーシー・グリーン変形テンソルの逆数（同文書ではコーシーひずみテンソルと呼ばれる）を推奨している。${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$フィンガーひずみテンソルと呼ばれることもある。しかし、その命名法は応用力学において普遍的に受け入れられているわけではない。

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

右コーシー・グリーン変形テンソルの公式における乗算の順序を逆にすると、左コーシー・グリーン変形テンソルが得られ、それは次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

左コーシー・グリーン変形テンソルは、しばしばヨーゼフ・フィンガー（1894）にちなんでフィンガー変形テンソルと呼ばれる。 ^{[ 4 ]}

IUPACはこのテンソルをグリーン歪みテンソルと呼ぶことを推奨している。^{[ 3 ]}

不変量${\displaystyle \mathbf {B} }$ひずみエネルギー密度関数の式にも使用される。従来の不変量は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$は変形勾配の決定要因である。

圧縮性材料の場合、少し異なる不変量のセットが使用されます。 $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

1828年、^{オーギュスタン＝ルイ}・コーシーは、^左コーシー・グリーン変形テンソルの逆数として定義される変形テンソルを導入した。${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$このテンソルは、 IUPAC ^{[ 3 ]}ではピオラ歪みテンソル、レオロジーや流体力学の文献ではフィンガーテンソル^{[ 6 ]}とも呼ばれています。

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

3つの異なる主要な区間がある場合${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$スペクトル分解​${\displaystyle \mathbf {C} }$そして${\displaystyle \mathbf {B} }$は

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

さらに、

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

注目してください $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ したがって、スペクトル分解の一意性は、${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$左ストレッチ（${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$）は空間ストレッチテンソルとも呼ばれ、右ストレッチ（${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$) は材料伸縮テンソルと呼ばれます。

効果${\displaystyle \mathbf {F} }$行動する${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ベクトルを伸ばすには${\displaystyle \lambda _{i}}$そしてそれを新しい向きに回転させる${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$つまり、 $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ 同様に、 $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

右コーシー・グリーン変形テンソルに関する伸長の微分は、多くの固体、特に超弾性材料の応力-ひずみ関係を導出するために使用される。これらの微分は $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ そして、観察結果から次のことが導き出される。 $${\displaystyle \mathbf {C}$$ :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}

させて${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$変形前の物体上に定義されたデカルト座標系とし、${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$変形した物体上に定義された別のシステムとする。曲線を${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$変形していない物体は、以下のパラメータを使用してパラメータ化されます。${\displaystyle s\in [0,1]}$変形した身体におけるその像は${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$。

曲線の変形前の長さは次のように表される。 $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ 変形後、長さは $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ 右コーシー・グリーン変形テンソルは次のように定義されることに注意してください。 $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ したがって、 $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ これは長さの変化が特徴であることを示している${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$。