安定性の仮定

確率論では、極値分布の非退化極限分布を得るためには、サンプルサイズに依存する係数を持つ 線形変換を適用して、実際の最大値を「削減」する必要があります。

共通の確率密度関数を持つ 独立した確率変数の場合${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle p_{X_{j}}(x)=f(x),}$

の累積分布関数は ${\displaystyle X'_{n}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$

${\displaystyle F_{X'_{n}}={[F(x)]}^{n}}$

興味のある極限分布がある場合、安定性の公理では、極限分布は などの変換された「縮小」値のシーケンスであると述べられており、ここで はnには依存しますが、 xには依存しません 。 ${\displaystyle (a_{n}X'_{n}+b_{n})}$${\displaystyle a_{n},b_{n}}$

極限累積分布関数をF ( x )の「縮小された」最大値と区別するために、これをG ( x )と表記する。従って、G ( x )は次の関数方程式を満たす必要がある。

${\displaystyle {[G(x)]}^{n}=G{(a_{n}x+b_{n})}}$

この方程式は、モーリス・ルネ・フレシェとロナルド・フィッシャーによって導き出されました。

ボリス・ウラジミロヴィッチ・グネデンコは、以下の分布以外に安定性の仮定を満たす分布は存在しないことを示した。 ^[1]

• 最小安定性公理 に対するガンベル分布
  • もし、そして、どこで、そして${\displaystyle X_{i}={\textrm {ガンベル}}(\mu ,\beta )}$${\displaystyle Y=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$${\displaystyle Y\sim a_{n}X+b_{n}}$${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle b_{n}=\beta \log(n)}$
  • 言い換えると、${\displaystyle Y\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu -\beta \log(n),\beta )}$
• 最大安定仮定の 極値分布
  • もし、そして、どこで、そして${\displaystyle X_{i}={\textrm {EV}}(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$${\displaystyle Y\sim a_{n}X+b_{n}}$${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle b_{n}=\sigma \log({\tfrac {1}{n}})}$
  • 言い換えると、${\displaystyle Y\sim {\textrm {EV}}(\mu -\sigma \log({\tfrac {1}{n}}),\sigma )}$
• 最大安定仮定の フレシェ分布
  • もし、そして、どこで、そして${\displaystyle X_{i}={\textrm {フレシェ}}(\alpha ,s,m)}$${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$${\displaystyle Y\sim a_{n}X+b_{n}}$${\displaystyle a_{n}=n^{-{\tfrac {1}{\alpha }}}}$${\displaystyle b_{n}=m\left(1-n^{-{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)}$
  • 言い換えると、${\displaystyle Y\sim {\textrm {フレシェ}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)}$