存在量化

記号論理学では、「∃」（サンセリフフォントの「 E 」を反転させた文字、Unicode U+2203）は存在量化を表すために使用されます。たとえば、次の表記法${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} :n\times n=25}$（真の）声明を表す

いくつか存在する${\displaystyle n}$自然数の集合において、${\displaystyle n\times n=25}$。

この記号が最初に使われたのは、ジュゼッペ・ペアノが『Formulario mathematico』 （1896年）で用いたと考えられている。その後、バートランド・ラッセルが存在量化子としての使用を普及させた。ペアノは集合論の研究を通して、この記号も導入した。${\displaystyle \cap }$そして${\displaystyle \cup }$それぞれ集合の共通部分と和集合を表す。^{[ 5 ]}

量化された命題関数は文である。したがって、文と同様に、量化された関数も否定することができる。${\displaystyle \lnot \ }$記号は否定を表すために使用されます。

例えば、P ( x )が「 xは0より大きく1より小さい」という述語である場合、すべての自然数からなる議論領域Xに対して、「 0より大きく1より小さい自然数xが存在する」という存在量化は、記号的に次のように表すことができます。

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

これは誤りであることが証明できる。実際には、「0より大きく1より小さい自然数xは存在しない」と言わなければならない。あるいは、記号的に言えば次のようになる。

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$。

議論領域の要素の中に、その命題が真となる要素が一つも存在しない場合、その命題はそれらの要素すべてに対して偽でなければならない。つまり、

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

これは論理的に「任意の自然数xに対して、x は0 より大きくなく、1 より小さくない」と同等である。

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

一般的に、命題関数の存在量化の否定は、その命題関数の否定の全称量化である。記号的に、

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

（これは、ド・モルガンの法則を述語論理に一般化したものである。）

よくある間違いは、「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり、「結婚している人は存在しない」）と述べることですが、本来は「すべての人が結婚しているわけではない」（つまり、「結婚していない人がいる」）と述べるべきです。

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

否定は、「～の場合」ではなく「～の場合」という表現によっても表すことができる。

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

全称量化子とは異なり、存在量化子は論理的選言に対して分配法則を適用する。

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

推論規則とは、仮説から結論に至る論理的な手順を正当化する規則のことである。存在量化子を用いる推論規則はいくつか存在する。

存在論的導入（∃I）は、命題関数が談話領域の特定の要素に対して真であることがわかっている場合、命題関数が真となる要素が存在することが真でなければならないと結論づける。記号的に、

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

フィッチ式演繹で行われる存在量化は、既存のどのサブ導出にも現れない主語を存在量化された変数に置き換えながら、新しいサブ導出に入ることによって進められます。置き換えられた主語が現れない結論にこのサブ導出内で到達できる場合、その結論をもってそのサブ導出を終えることができます。存在消去（∃E）の背後にある推論は次のとおりです。命題関数が真となる要素が存在し、その要素に任意の名前を付けることで結論に到達できる場合、その結論に名前が含まれていない限り、その結論は必然的に真となります。記号的に、任意のcと、 cが現れない命題Qについて、次のようになります。

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$同じドメインX上のcのすべての値に対して真でなければなりません。そうでなければ、論理が成り立ちません。c が任意ではなく、議論のドメインの特定の要素である場合、P ( c )を述べると、そのオブジェクトについて不当に多くの情報を与える可能性があります。

式${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$P ( x )に関係なく、常に偽です。これは、${\displaystyle \varnothing }$は空集合を表し、空集合には、いかなる種類のx も、ましてや与えられた述語P ( x ) を満たすxは存在しません。詳細については、「空虚な真理」も参照してください。