オイラーの等式

オイラーの等式は、${\displaystyle e^{i\pi }}$−1 に等しい。${\displaystyle e^{i\pi }}$は、表現の特殊なケースです。${\displaystyle e^{z}}$ここで、zは任意の複素数である。一般に、${\displaystyle e^{z}}$は、指数関数の定義の一つを実数指数から複素数指数に拡張することによって、複素数zに対して定義されます。例えば、一般的な定義の一つは次のとおりです。

$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

したがって、オイラーの等式は、nが無限大に近づくときの極限は、${\displaystyle (1+{\tfrac {i\pi }{n}})^{n}}$は-1に等しい。この極限は右側のアニメーションで示されている。

オイラーの等式は、任意の実数xに対して、

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$$

ここで、三角関数の正弦と余弦の入力はラジアンで与えられます。

特に、x = πの場合、

$${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$$

以来

$${\displaystyle \cos \pi =-1}$$

そして

$${\displaystyle \sin \pi =0,}$$

したがって、

$${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$$

これによりオイラーの恒等式が得られる。

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

任意の複素数${\displaystyle z=x+iy}$点によって表すことができる${\displaystyle (x,y)}$複素平面上。この点は極座標では次のように表すこともできます。${\displaystyle (r,\theta )}$ここで、rはzの絶対値（原点からの距離）であり、${\displaystyle \theta }$はzの引数(正のx軸から反時計回りに角度) です。正弦と余弦の定義により、この点のデカルト座標は次のようになります。${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$つまり、${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$オイラーの公式によれば、これは次のように言うことと同等である。${\displaystyle z=re^{i\theta }}$。

オイラーの恒等式によれば、${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$。以来${\displaystyle e^{i\pi }}$は${\displaystyle re^{i\theta }}$r = 1 の場合、${\displaystyle \theta =\pi }$これは複素平面上の数 −1 に関する事実として解釈できます。原点からの距離は 1 であり、正のx軸からの角度は${\displaystyle \pi }$ラジアン。

さらに、複素数zに${\displaystyle e^{i\theta }}$回転する効果がある${\displaystyle z}$反時計回りに角度だけ${\displaystyle \theta }$複素平面上。−1 を掛けると原点に関して点が反転するので、オイラーの等式は、任意の点を回転させると、${\displaystyle \pi }$原点を中心としてラジアンだけ回転させると、原点に関して点を反転させるのと同じ効果が得られます。同様に、${\displaystyle \theta }$等しい$2π$関連する方程式が得られる${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$これは、任意の点を原点を中心に1回転させると、元の位置に戻るという意味に解釈できる。

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