オイラーの宝石

『オイラーの宝石：多面体の公式とトポロジーの誕生』は、オイラーの公式に関する書籍です。${\displaystyle V-E+F=2}$凸多面体のオイラー標数とトポロジーの歴史との関連について。デイビッド・リチェソンによって書かれ、2008年にプリンストン大学出版局から出版され、2012年にペーパーバック版が出版された。2010年にアメリカ数学協会のオイラー書籍賞を受賞した。^{[ 1 ] [ 2 ]}

本書は歴史的に構成されており、書評家のロバート・ブラッドリーは本書の内容を3つのパートに分けている。^{[ 3 ]}第1部では、ピタゴラス、タレス、ユークリッド、ヨハネス・ケプラーの業績を含む多面体の初期の歴史、そしてルネ・デカルトによるガウス・ボンネの定理の多面体版の発見（後にオイラーの公式と同等であることが判明）について論じている。また、オイラーの生涯、1750年代初頭におけるオイラー標数の発見についても概説している。${\displaystyle V-E+F}$（頂点の数から辺の数を引いて面の数を加えた数）は、すべての凸多面体で 2 に等しい。また、証明を試みたがうまくいかず、球面三角法における三角形の角度の超過と面積の関係を示すジラールの定理に基づき、 1794 年にアドリアン＝マリー・ルジャンドルが行ったこの恒等式の最初の厳密^な証明で締めくくられている。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

多面体は幾何学的対象ではあるが、『オイラーの宝石』では、オイラーは幾何学的な距離や角度を通してではなく、位相的に（頂点、面、辺の抽象的な接続パターンとして）多面体を初めて見ることで、その公式を発見したと主張している。^{[ 8 ]}（ただし、この主張は、ケプラーやデカルトの初期の著作における同様のアイデアについての本書の議論によって損なわれている。）^{[ 7 ]}位相幾何学の誕生は、慣習的にオイラーの初期の貢献、1736年のケーニヒスベルクの七つの橋に関する著作によって特徴づけられており、本書の中間部では、グラフ理論を通してこれら二つの著作を結びつけている。^{[ 3 ]}本書では、平面グラフについて、幾何学的形式ではなく位相的な形式でオイラーの公式を証明し、これらのグラフが低次数の頂点を持つことを証明する際のその使用法について議論している。これは、四色定理の証明における重要な要素である。さらに、スプラウトとブリュッセルスプラウトのグラフベースのゲームとオイラーの公式を用いたそれらの分析を通して、組み合わせゲーム理論とのつながりも示しています。^{[ 3 ] [ 4 ]}

本書の第 3 部では、ブラッドリーは平面と球のトポロジーから任意の位相曲面へと進みます。^{[ 3 ]}任意の曲面について、その曲面のすべての細分化のオイラー特性は等しくなりますが、常に 2 であるのではなく、曲面に依存します。ここでは、ベルンハルト・リーマン、マックス・デーン、ポール・ヘーガードによる多様体の分類に関する研究が説明されており、その中で、2 次元のコンパクトな位相曲面は、そのオイラー特性と向き付け可能性によって完全に記述できることが示されています。この部分で議論されているその他のトピックには、結び目理論とザイフェルト曲面のオイラー特性、ポアンカレ・ホップの定理、ブロウワーの不動点定理、ベッティ数、グリゴリー・ペレルマンによるポアンカレ予想の証明などがあります。^{[ 2 ] [ 4 ]}

付録には、本書に掲載されている例のいくつかを紙やシャボン玉でモデル化する方法が記載されています。^{[ 2 ] [ 4 ]}

『オイラーの宝石』は、数学のトピックに興味のある一般読者を対象としており、本書で取り上げられている数学者の伝記的スケッチや肖像、厳密な証明の代わりに多くの図や視覚的推論、そしていくつかの簡単な方程式のみで構成されています。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 2 ]}演習問題がないため、教科書ではありません。^{[ 9 ]}ただし、本書の後半部分はアマチュアには難解で、少なくとも学部レベルの微積分と微分幾何学の理解が必要です。^{[ 4 ] [ 10 ]}レビュー担当者のダスティン・L・ジョーンズは、教師は本書の例、直感的な説明、歴史的背景資料が教室で役立つと感じているだろうと述べています。^{[ 11 ]}

書評家のジェレミー・L・マーティンは、「数学史と美学に関する本書の一般化はやや単純化されすぎているか、あるいは一方的である」と不満を述べ、本書が極性双対性とポアンカレ双対性を混同しているという重大な数学的誤りを指摘し、コンピュータ支援証明に対する本書の姿勢を「不必要に軽視している」と見なしているものの、本書の数学的内容は「こうした時折見られる欠点を上回る」と結論付けている。^{[ 7 ]}ダスティン・ジョーンズは本書を「歴史と数学のユニークな融合…魅力的で楽しい」と評価し、^{[ 11 ]}書評家のブルース・ロスは「よく書かれており、興味深いアイデアに満ちている」と評している。^{[ 6 ]}書評家のジャニーン・デームズは「本書を読むのは楽しい経験だった。数学的な議論を恐れないすべての人にお勧めする」と書いている。^{[ 8 ]}

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