テトリミノ

テトロミノは、4つの正方形が直交して（つまり、角ではなく辺で）接続された幾何学的形状である。^{[1] [2]テトロミノは、}ドミノやペントミノと同様に、ポリオミノの一種である。対応するポリキューブはテトラキューブと呼ばれ、4つの立方体が直交して接続された幾何学的形状である。

テトロミノの一般的な使用例は、ソ連のゲームデザイナー、アレクセイ・パジトノフが作成したビデオゲーム「テトリス」であり、このゲームではテトリミノと呼ばれています。^[3]このゲームで使用されるテトロミノは、具体的には片面のテトロミノです。

ポリオミノは、単位正方形を辺に沿って結合して形成されます。自由ポリオミノとは、合同性まで考慮されるポリオミノです。つまり、平行移動、回転、反射の組み合わせによって一方が他方に変わる場合、2 つの自由ポリオミノは同じになります。自由テトロミノとは、4 つの正方形から作られる自由ポリオミノです。自由テトロミノは 5 つあります。

自由テトロミノには次の対称性があります。

• 直線：垂直および水平の反射対称性、および2回の回転対称性
• 正方形：垂直および水平の反射対称性、および4回の回転対称性
• T: 垂直反射対称のみ
• L: 対称性なし
• S: 2回回転対称のみ

片面テトロミノは、平行移動や回転はできるが、反射はできないテトロミノです。これらはテトリスで使用され、圧倒的にテトリスと関連しています。7 つの異なる片面テトロミノがあります。これらのテトロミノは、最もよく似ているアルファベットの文字で名前が付けられています。「I」、「O」、「T」テトロミノは反射対称性があるため、これらがフリーテトロミノと見なされるか片面テトロミノと見なされるかは問題ではありません。残りの 4 つのテトロミノ、「J」、「L」、「S」、「Z」は、キラリティーと呼ばれる現象を示します。J と L は互いに反射し、S と Z は互いに反射します。

自由テトロミノの場合、J は L に等しく、S は Z に等しくなりますが、2 次元で反射がない場合、J を L に、または S を Z に変換することはできません。

固定テトロミノでは、回転や反転はできず、移動のみが可能です。固定 I テトロミノが 2 つ、J テトロミノが 4 つ、L テトロミノが 4 つ、O テトロミノが 1 つ、S テトロミノが 2 つ、T テトロミノが 4 つ、Z テトロミノが 2 つあり、合計 19 個の固定テトロミノがあります。

自由なテトロミノまたは片面テトロミノの 1 セットは、長方形に収まりません。これは、切断されたチェス盤の議論に似た証明で示すことができます。市松模様の 5×4 の長方形には 20 個の正方形があり、そのうち 10 個は明るい正方形、10 個は暗い正方形ですが、自由なテトロミノの完全なセットは、11 個の暗い正方形と 9 個の明るい正方形、または 11 個の明るい正方形と 9 個の暗い正方形のいずれかになります。これは、T テトロミノには 3 個の暗い正方形と 1 個の明るい正方形、または 3 個の明るい正方形と 1 個の暗い正方形があるのに対し、他のすべてのテトロミノにはそれぞれ 2 個の暗い正方形と 2 個の明るい正方形があるためです。同様に、7×4 の長方形には 28 個の正方形があり、各色の正方形が 14 個ずつ含まれていますが、片面のテトロミノのセットには、暗い正方形が 15 個と明るい正方形が 13 個、または明るい正方形が 15 個と暗い正方形が 13 個含まれています。拡張により、どちらのタイプのセットも奇数個は長方形に収まりません。さらに、19 個の固定テトロミノは 4×19 の長方形に収まりません。これは、コンピューター検索であらゆる可能性を尽くして発見されました。

T テトロミノには 1 色の正方形が 3 つと、他の色の正方形が 1 つあることから、偶数の正方形を含む長方形には必ず偶数の T テトロミノが含まれることになります。逆に、奇数の正方形を含む長方形には必ず奇数の T テトロミノが含まれます。

テトリミノの 3 セットはすべて、穴の開いた長方形に適合します。

• 5 つのフリー テトロミノはすべて、穴の開いた 7×3 の長方形に収まります。
• 7 つの片面テトロミノはすべて、同じ「チェッカーボード色」の 2 つの穴がある 6×5 の長方形に適合します。
• 19 個の固定テトロミノはすべて、穴の開いた 11×7 の長方形に収まります。

2 セットの自由または片面のテトリミノは、以下に示すように、さまざまな方法で長方形に収まります。

「テトロミノ」という名前は、接頭辞 tetra-「4」（古代ギリシャ語 τετρα-から）と「ドミノ」を組み合わせたものです。この名前は、1953年にソロモン・W・ゴロムによって、ポリオミノに関連する他の命名法とともに導入されました。 ^{[4] [1]}

5 つの自由テトロミノにはそれぞれ対応するテトラキューブがあり、これはテトロミノを 1 単位押し出したものです。J と L は、S と Z と同様に同じテトラキューブです。これは、一方をテトロミノの平面に平行な軸の周りで回転させて、もう一方を形成できるためです。さらに 3 つのテトラキューブが可能です。これらはすべて、曲がったトリキューブに単位キューブを置くことで作成されます。

テトラキューブは、ボックスの寸法と組み込み基準に基づいて、さまざまな方法で 2 層の 3D ボックスに詰めることができます。テトラキューブは、図解図とテキスト図の両方で表示されます。同じピースの 2 セットを使用するボックスの場合、図解図では各セットが同じ色の明るい色または暗い色で表示されます。テキスト図では、各セットが大文字または小文字で表示されます。テキスト図では、上層が左側、下層が右側になります。

1.) 2×4×5 のボックスに無料のテトリミノ 2 セットが入っています。

ZZT t I l TTT i
LZZ t I lllli
うんうんうん
ああ、そうだ





2.) 2×2×10 のボックスに無料のテトリミノ 2 セットが入っています。

LLL zz ZZTOO oozz ZZTTT l
LIIII ttt OO ooiiiitlll





3.) 2×4×4 のボックスにテトロミノ 1 セットがすべて入っています。

ふぉぉぉぉ
ふぅ
OOLDLLD
うわあ





4.) 2×2×8 のボックスにテトロミノ 1 セットがすべて入っています。

ジズロットDLLLOBFF
DDZZOBTFIIIIOBBF





5.) 鏡像のピースを取り除いたテトロミノが入った 2×2×7 のボックス:

うわぁー
よかった

• ソマキューブ

• トロミノ
• ペントミノ

• ヴァディム・ゲラシモフ：テトリスの物語
• テトリスの父 (ページの Web アーカイブ コピーはこちら)