ダフィング方程式

{\displaystyle \alpha =-1} — ダフィング発振器のプロット。位相プロット、軌跡、ストレンジアトラクター、ポアンカレ断面、二重井戸ポテンシャルプロットを含む。パラメータは $\alpha =-1$ 、 $\beta =0.25$ 、 $\delta =0.1$ 、 $\gamma =2.5$ 、そして $\omega =2$ 。

{\displaystyle \beta =0.25} — ダフィング発振器のプロット。位相プロット、軌跡、ストレンジアトラクター、ポアンカレ断面、二重井戸ポテンシャルプロットを含む。パラメータは $\alpha =-1$ 、 $\beta =0.25$ 、 $\delta =0.1$ 、 $\gamma =2.5$ 、そして $\omega =2$ 。

{\displaystyle 8\pi } — ダフィング発振器の奇妙なアトラクター、4周期にわたって（ $8\pi$ 時間）。色分けは点の流れ方を示しています。 $\alpha =-1$ 、 $\beta =1$ 、 $\delta =0.02$ 、 $\gamma =3$ 、 $\omega =1$ アニメーションには時間オフセットがあるため、駆動力は $\sin(\omega t)$ それよりも $\cos(\omega t)$ ）

ダフィング方程式（またはダフィング発振器）は、ゲオルク・ダフィング（1861～1944）にちなんで名付けられた非線形2階微分方程式であり、特定の減衰振動子および駆動振動子をモデル化するために使用される。この方程式は次のように表される。 ${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),$ （未知の）関数 $x=x(t)$ $は時刻t$ における変位です。 ${\dot {x}}$ はの一次導関数です $x$ 時間に関して、すなわち速度、そして ${\ddot {x}}$ は、 $x,$ つまり加速度。数値は $\delta ,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ そして $\omega$ 定数が与えられます。

この方程式は、単純な調和運動（これは次のケースに対応します）よりも複雑なポテンシャルを持つ減衰振動子の運動を記述します。 $\beta =\delta =0$ 物理的には、例えば、バネの剛性がフックの法則に厳密に従わない弾性振り子をモデル化している。

ダフィング方程式は、カオス的な挙動を示す力学系の一例である。さらに、ダフィング系は周波数応答において、一種の周波数ヒステリシス挙動であるジャンプ共振現象を示す。

パラメータ

上記の式におけるパラメータは以下のとおりです。

$\delta$ 減衰量を制御し、
$\alpha$ 線形剛性を制御し、
$\beta$ 復元力の非線形性の量を制御する。 $\beta =0,$ ダフィング方程式は、減衰および駆動される単純調和振動子を記述する。
$\gamma$ は周期的な駆動力の振幅です。 $\gamma =0$ システムには原動力がなく、
$\omega$ は周期的な駆動力の角周波数である。

ダフィング方程式は、非線形ばねと線形ダンパーに取り付けられた質量の振動を記述するものと見なすことができる。非線形ばねによって提供される復元力は次のようになる。 $\alpha x+\beta x^{3}.$

いつ $\alpha >0$ そして $\beta >0$ このバネは硬化バネと呼ばれます。逆に、 $\beta <0$ それは、まだ柔らかい春です（ $\alpha >0$ したがって、一般的にダフィング方程式に関して、形容詞「硬化」と「軟化」は、以下の値に応じて使用されます。 $\beta$ （そして $\alpha$ ). ^{[ 1 ]}

ダフィング方程式のパラメータ数は、スケーリングによって 2 つ減らすことができます (バッキンガム π 定理に従って)。たとえば、エクスカーション $x$ そして時間 $t$ 次のようにスケーリングできます: ^{[ 2 ]} $\tau =t{\sqrt {\alpha }}$ そして $y=x\alpha /\gamma ,$ 想定 $\alpha$ は正の値である（パラメータの異なる範囲、または研究対象の問題の異なる重点に対しては、他のスケーリングも可能である）。次に：^{[ 3 ]} ${\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),$ どこ

$\eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},$
$\varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},$ そして
$\sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.$

ドットは、 $y(\tau )$ に関して $\tau .$ これは、強制および減衰ダフィング方程式の解が、3 つのパラメータ ( $\varepsilon$ 、 $\eta$ 、そして $\sigma$ ）と 2 つの初期条件（つまり、 $y(t_{0})$ そして ${\dot {y}}(t_{0})$ )

解決方法

一般に、ダフィング方程式は厳密な記号解を持たない。しかし、多くの近似解法は有効である。

フーリエ級数展開を用いることで、任意の精度で運動方程式を得ることができる。
の $x^{3}$ 項はダフィング項とも呼ばれ、小さいと近似することができ、システムは摂動を受けた単純調和振動子として扱うことができる。
フロベニウス法は、複雑ではあるが実用的な解をもたらす。
オイラー法やルンゲ・クッタ法など、様々な数値解法を用いることができます。
ホモトピー解析法（HAM）は、強い非線形性の場合にもダフィング方程式の近似解を得るために報告されている。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

減衰のない特殊なケースでは（ $\delta =0$ ）と非駆動（ $\gamma =0$ ダフィング方程式では、ヤコビの楕円関数を用いて厳密解を得ることができます。^{[ 6 ]}

外力のない振動子の解の有界性

減衰のない発振器

減衰も強制力もないダフィング方程式の乗算、 $\gamma =\delta =0,$ と ${\dot {x}}$ 与える：^{[ 7 ]} ${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}$ $H$ は定数である。Hの値は初期条件によって決定される $。$ $x(0)$ そして ${\dot {x}}(0).$

代替 $y={\dot {x}}$ Hは、システムがハミルトニアンであることを示している。 ${\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[1ex]\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}$

両方 $\alpha$ そして $\beta$ が正であれば、解は有界である: ^{[ 7 ]} $|x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},$ ハミルトニアン $H$ は正である。この境界は $x$ 用語を省略することから $\beta$ それを含めると、より小さく複雑な境界が得られます。 $(\beta /4)x^{4}+(\alpha /2)x^{2}-H=0$ の二次方程式 $x^{2}$ 。

減衰振動子

同様に、減衰振動子はリアプノフ関数法によって大域的に収束する^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}$ 以来 $\delta \geq 0$ 減衰のため。減衰ダフィング発振器は、強制力を加えなければ、安定平衡点（複数可）のいずれかに到達します。安定平衡点と不安定平衡点は、 $\alpha x+\beta x^{3}=0.$ もし $\alpha >0$ 安定平衡点は $x=0.$ もし $\alpha <0$ そして $\beta >0$ 安定平衡点は以下の通りである。 ${\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$ そして ${\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

周波数応答

3次非線形性を持つ強制ダフィング発振器は、次の常微分方程式で記述される。 ${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).$

この発振器の周波数応答は振幅を表します $z$ 方程式の定常状態応答（すなわち $x(t)$ ）特定の励起周波数において $\omega .$ 線形振動子の場合 $\beta =0,$ 周波数応答も線形です。ただし、非ゼロの3次係数の場合 $\beta$ 周波数応答は非線形になります。非線形性の種類に応じて、ダフィング発振器は、硬化、軟化、または硬化と軟化の混合周波数応答を示す可能性があります。いずれにせよ、ホモトピー解析法または調和平衡法を使用すると、次の形式の周波数応答方程式を導出できます。^{[ 9 ]}^{[ 5 ]} $\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.$

ダフィング方程式のパラメータに対して、上記の代数方程式は定常状態の振動振幅を与える。 $z$ 特定の励起周波数において。

周波数応答の導出

調和平衡法を用いて、ダフィング方程式の近似解を次の形式で求める。^{[ 9 ]} $x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),$ と $z^{2}=a^{2}+b^{2}$ そして $\tan \phi ={\frac {b}{a}}.$

ダフィング方程式への適用結果は以下の通りである。 ${\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\omega t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\omega t\right)=0.\end{aligned}}$

超高調波を無視すると $3\omega ,$ 前の2つの用語 $\cos(\omega t)$ そして $\sin(\omega t)$ ゼロでなければならない。結果として、 ${\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}$

両方の式を二乗して加算すると、振幅周波数応答が得られます。 $\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2},$ 上記のとおりです。

周波数応答 $z/\gamma$ 関数として $\omega /{\sqrt {\alpha }}$ ダフィング方程式の場合、 $\alpha =\gamma =1$ 減衰 $\delta =0.1$ 周波数応答の破線部分は不安定である。^{[ 3 ]}
$同じプロットを3D図で表したもの。β {\displaystyle \beta } の変化は別の軸に沿って表示されます。$
3D図と同じプロット。 $\beta$ 別の軸に沿って表示されます。

周波数応答をグラフで解く

グラフを使って解くことができます $z^{2}$ 2 つの曲線の交点として $(z^{2},y)$ 飛行機： ${\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}$ 固定の場合 $\alpha ,\delta ,\gamma$ 2番目の曲線は、第1象限の固定双曲線です。最初の曲線は、形状が放物線です。 ${\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}}$ 頂点の位置 ${\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})}$ . 修正すれば $\beta$ さまざまな $\omega$ すると放物線の頂点は直線に沿って移動する ${\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }$ 。

グラフで見ると、 $\beta$ は大きな正の数なので、 $\omega$ の場合、放物線は双曲線と1点で交わり、次に3点で交わり、次に再び1点で交わります。同様に、次のケースを分析できます。 $\beta$ は大きな負の数です。

ジャンプ

{\displaystyle \alpha =\gamma =1,} — 周波数応答にジャンプが見られます。パラメータは以下のとおりです。 $\alpha =\gamma =1,$ 、 $\beta =0.04$ 、そして $\delta =0.1$ [ ⁹^]

ダフィング方程式のパラメータの特定の範囲では、周波数応答は強制周波数の単一値関数ではなくなる可能性がある。 $\omega .$ 硬化バネ発振器の場合（ $\alpha >0$ そして十分な大きさのプラス $\beta >\beta _{c+}>0$ ）周波数応答は高周波側に、そして軟化ばね発振器の場合は低周波側に張り出している（ $\alpha >0$ そして $\beta <\beta _{c-}<0$ 下側の張り出し部分は不安定であり（周波数応答図の破線部分）、長時間維持することができません。その結果、ジャンプ現象が発生します。

角周波数 $\omega$ （他のパラメータを固定した状態で）ゆっくりと増加させると、応答振幅は $z$ A地点からB地点へ急降下する。
周波数が $\omega$ は徐々に減少し、Cで振幅がDまで急上昇し、その後は周波数応答の上側の分岐に従います。

ジャンプA-BとC-Dは一致しないため、システムは周波数掃引方向に応じてヒステリシスを示す。 ^{[ 9 ]}

混沌への移行

上記の解析では、基本周波数応答が支配的であり（調和平衡を実行するために必要）、高周波数応答は無視できると仮定した。強制力が十分に強い場合、この仮定は成り立たない。高次の高調波を無視することはできず、ダイナミクスはカオス的になる。カオスへの遷移にはさまざまな可能性があり、最も一般的なのは連続的な周期倍加によるものである。^{[ 10 ]}

例

時間経過と位相図

周期1の振動

\gamma =0.20

周期2の振動

\gamma =0.28

周期4の振動

\gamma =0.29

周期5の振動

\gamma =0.37

混乱の中で

\gamma =0.50

周期2の振動

\gamma =0.65

ダフィング方程式の時系列と位相図の典型的な例をいくつか下の図に示します。周期倍分岐によるサブハーモニックの出現、およびカオス的挙動を示しています。強制振幅は、 $\gamma =0.20$ に $\gamma =0.65$ その他のパラメータの値は以下のとおりです。 $\alpha =-1$ 、 $\beta =+1$ 、 $\delta =0.3$ そして $\omega =1.2$ 初期条件は $x(0)=1$ そして ${\dot {x}}(0)=0.$ 位相図の赤い点は、 $t$ 周期の整数倍である $T=2\pi /\omega$ [ ¹¹^]

参考文献

引用文献

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参考文献

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Addison, PS (1997), Fractals and Chaos: An illustration course , CRC Press, pp. 147–148 , ISBN 9780849384431
Jordan, DW; Smith, P. (2007),非線形常微分方程式 ― 科学者と技術者のための入門(第 4 版), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-920824-1

外部リンク

Scholarpediaのダフィング発振器
MathWorldのページ
Pchelintsev, AN; Ahmad, S. (2020). 「べき級数法によるダフィング方程式の解法」(PDF) . Transactions of TSTU . 26 (1): 118– 123.
ダフィング発振器とポアンカレセクションのビデオ

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パラメータ

解決方法

外力のない振動子の解の有界性

減衰のない発振器

減衰振動子

周波数応答

周波数応答をグラフで解く

ジャンプ

混沌への移行

例

参考文献

引用文献

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