適応フィルター

可変フィルタがタップ付き遅延線有限インパルス応答（FIR）構造を持つ場合、インパルス応答はフィルタ係数に等しくなります。フィルタの出力は次のように表されます。

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(kl)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

どこ${\displaystyle w_{lk}}$は${\displaystyle l}$k 番目の時点での 番目の重量。

理想的な場合${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$. 不要な信号はすべて$d_k$は$u_k$。 ${\displaystyle \ x_{k}}$不要な信号と相関する信号のみで構成されています$u_k$。

理想的な場合の可変フィルタの出力は

${\displaystyle y_{k}={\hat {u}}_{k}}$。

誤差信号またはコスト関数は、$d_k$そして$\displaystyle y_k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$目的の信号g _kは変化せずに通過する。

エラー信号$\displaystyle \epsilon _{k}}$平均二乗の意味で最小化されるのは、${\displaystyle [u_{k}-{\hat {u}}_{k}]}$最小化される。言い換えれば、${\displaystyle {\hat {u}}_{k}}$は、$u_k$理想的な場合、${\displaystyle u_{k}={\hat {u}}_{k}}$そして${\displaystyle \epsilon _{k}=g_{k}}$、そして引き算の後に残るのは${\displaystyle g}$これは、不要な信号をすべて除去した、変更されていない目的信号です。

状況によっては、参照入力${\displaystyle x_{k}}$目的信号の成分が含まれています。つまり、g' ≠ 0 です。

この場合、不要な干渉を完全に打ち消すことはできませんが、信号対干渉比を改善することは可能です。出力は次のようになります。

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$目的の信号は変更されます（通常は減少します）。

出力信号と干渉の比率は、電力反転と呼ばれる単純な式で表されます。

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$。

どこ

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$＝出力信号対干渉比。

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$＝基準信号対干渉比。

${\displaystyle z\ }$= z領域における周波数。

この式は、特定の周波数における出力信号対干渉比が、基準信号対干渉比の逆数であることを意味する。^{[ 5 ]}

例：ファストフード店にドライブスルー窓口があります。窓口に着く前に、顧客はマイクに向かって話して注文します。このマイクはエンジンや周囲の騒音も拾います。このマイクが主信号を提供します。顧客の声の信号パワーとエンジンの騒音パワーは等しいです。そのため、店員は顧客の言っていることを理解するのが困難です。主マイクの干渉を減らすために、エンジンの音を拾うように設計された場所に2つ目のマイクを設置します。このマイクは顧客の声も拾います。このマイクが基準信号源です。この場合、エンジンの騒音は顧客の声の50倍強力です。キャンセラーが収束すると、主信号対干渉比は1:1から50:1に改善されます。

適応型線形結合器（ALC）は、X値間の関係を仮定しない点を除けば、適応型タップ遅延線FIRフィルタに似ています。X値がタップ遅延線の出力である場合、タップ遅延線とALCの組み合わせは適応フィルタを構成します。しかし、X値はピクセルアレイの値でも構いません。あるいは、複数のタップ遅延線の出力でも構いません。ALCは、ハイドロホンやアンテナアレイの適応型ビームフォーマーとして利用されています。

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

どこ${\displaystyle w_{lk}}$は${\displaystyle l}$k 番目の時点での 番目の重量。

可変フィルタがタップ付き遅延線FIR構造を持つ場合、LMS更新アルゴリズムは特に単純です。通常、各サンプルの後、FIRフィルタの係数は次のように調整されます。^{[ 6 ]}

のために${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{kl}}$

μは収束係数と呼ばれる。

LMSアルゴリズムは、X値間に特定の関係性を必要としないため、線形結合器だけでなくFIRフィルタにも適用できます。この場合、更新式は次のように記述されます。

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

LMS アルゴリズムの効果は、各時刻 k において、各重みに小さな変化を加えることです。変化の方向は、時刻 k に適用された場合に誤差が減少する方向です。各重みの変化の大きさは、μ、関連する X 値、および時刻 k における誤差に依存します。出力に最も大きく寄与する重みは、$\displaystyle y_k}}$、 が最も大きく変化します。誤差がゼロの場合、重みは変化しないはずです。X の関連値がゼロの場合、重みを変更しても違いがないため、変更されません。

非線形フィルタの目的は、線形モデルの限界を克服することです。一般的に用いられる手法としては、Volterra LMS、カーネル適応フィルタ、スプライン適応フィルタ^{[ 8 ]}、Urysohn適応フィルタ^{[ 9 ] [ 10 ]}などがあります。多くの研究者は、このリストにニューラルネットワークも含めています^{[ 11 ]。Volterra} LMSとカーネルLMSの基本的な考え方は、データサンプルを異なる非線形代数式に置き換えることです。Volterra LMSの場合、この式はVolterra級数です。スプライン適応フィルタでは、モデルは線形動的ブロックと静的非線形性のカスケードであり、スプラインによって近似されます。Urysohn適応フィルタでは、モデル内の線形項は

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}w_{j}\ x_{ij}}$

区分的線形関数に置き換えられる

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}(x_{ij})}$

これらはデータサンプルから特定される。

• ヘイズ、モンソン H. (1996).統計的デジタル信号処理とモデリング. ワイリー. ISBN 978-0-471-59431-4。
• ハイキン、サイモン（2002）。適応フィルタ理論。プレンティスホール。ISBN 978-0-13-048434-5。
• ウィドロー、バーナード；スターンズ、サミュエル・D. (1985).適応信号処理. ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-004029-9。