楕円フィルタ

楕円フィルタ（ヴィルヘルム・カウアーにちなんでカウアーフィルタとも呼ばれる、またはエゴール・ゾロタレフにちなんでゾロタレフフィルタとも呼ばれる）は、通過帯域と阻止帯域の両方で等化リップル（等リップル）動作を行う信号処理フィルタです。各帯域のリップルの量は独立して調整可能であり、リップルの値が与えられた場合（リップルが等化されているかどうかに関係なく） 、同じ次数のフィルタで通過帯域と阻止帯域の間でゲインの遷移がこれより速いものはありません。 ^[要出典]あるいは、通過帯域と阻止帯域のリップルを独立して調整する機能をあきらめて、部品のばらつきの影響を最大限受けないフィルタを設計することもできます。

阻止帯域のリップルがゼロに近づくと、フィルタはタイプ Iチェビシェフ フィルタになります。通過帯域のリップルがゼロに近づくと、フィルタはタイプ IIチェビシェフ フィルタになり、最終的に両方のリップル値がゼロに近づくと、フィルタはバターワース フィルタになります。

ローパス楕円フィルタのゲインは角周波数ωの関数として次のように表されます。

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

ここで、R _nはn次の楕円有理関数（チェビシェフ有理関数とも呼ばれる）であり、

${\displaystyle \omega _{0}}$ カットオフ周波数

${\displaystyle \epsilon }$波及要因

${\displaystyle \xi }$選択係数である

リップル係数の値は通過帯域リップルを指定し、リップル係数と選択係数の組み合わせは阻止帯域リップルを指定します。

• 通過帯域では、楕円有理関数は 0 から 1 の間で変化します。したがって、通過帯域のゲインは 1 から の間で変化します。${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$
• ストップバンドでは、楕円有理関数は無限大と次のように定義される識別係数の間で変化します。${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

したがって、ストップバンドのゲインは 0 から の間で変化します。${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$

• 楕円有理関数の極限ではチェビシェフ多項式となり、したがってフィルタはリップル係数εを持つチェビシェフI型フィルタとなる。${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$
• バタワースフィルタはチェビシェフフィルタの極限形式であるため、の極限において、フィルタがバタワースフィルタとなることが分かります。${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$
• の極限、および かつとなる場合、フィルタはゲイン${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

楕円フィルタのゲインのゼロは、楕円有理関数の極と一致します。楕円有理関数の極は、楕円有理関数に関する記事で導出されます。

楕円フィルタのゲインの極は、タイプ Iチェビシェフ フィルタのゲインの極の導出と非常によく似た方法で導出できます。簡単にするために、カットオフ周波数が 1 であると仮定します。楕円フィルタのゲインの極は、ゲインの分母のゼロになります。複素周波数を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle (\omega _{pm})}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

cd() がJacobi 楕円余弦関数である場合に定義し、楕円有理関数の定義を使用すると次のようになります。 ${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

ここで、および。wを解くと${\displaystyle K=K(1/\xi )}$${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

ここで、逆 cd() 関数の複数の値は、整数インデックスm を使用して明示的に示されます。

楕円ゲイン関数の極は次のようになります。

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

チェビシェフ多項式の場合と同様に、これは明示的に複素形式で表現される可能性がある（Lutovac & et al. 2001、§ 12.8）

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

ここで はの関数であり、と は楕円有理関数の零点である。はすべてのnに対してヤコビ楕円関数で表現できる。あるいは、特に 1、2、3 次では代数的に表現できる。 1 次と 2 次では、 ${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle n,\,\epsilon }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

どこ

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

の代数表現はかなり複雑です（Lutovac & et al. (2001, § 12.8.1)を参照）。 ${\displaystyle \zeta _{3}}$

楕円有理関数のネスト特性を利用して、次の高階表現を構築することができます。 ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

どこ。 ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$

必要最小限の要素数で楕円フィルタを設計するには、楕円積分を使用して楕円フィルタの最小次数を次のように計算します。^[1] この式は、標準的なローパス楕円フィルタのみを考慮しています。次数を変更しても、式で考慮されていない誤差が生じます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {10^{\alpha _{p}/10}-1}{10^{\alpha _{s}/10}-1}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\\X_{1}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{1}\\X_{1}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\\X_{2}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{2}\\X_{2}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\\n&=ceil{\bigg [}{\frac {X_{1}'X_{2}}{X_{1}X_{2}'}}{\bigg ]}\\\end{aligned}}}$

楕円積分の計算は次の式を用いることで省略できる。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\text{ the selectivity factor }}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}{\text{ (same as }}\tau _{2}{\text{ above)}}\\u&={\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{2(1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}})}}\\q&=u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\D&={\frac {10^{A_{s}/10}-1}{10^{A_{p}/10}-1}}{\text{ (same as }}1/\tau _{1}{\text{ above)}}\\n&=ceil{\bigg (}{\frac {\log {16D}}{\log(1/q)}}{\bigg )}\\\end{aligned}}}$

どこ：

${\displaystyle \omega _{p}}$は通過帯域リップル周波数と最大リップル減衰量（dB）である。 ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$およびはストップバンド周波数と最小ストップバンド減衰量（dB）である。 ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$最小の極数、つまりフィルタの次数です。

ceil [] は次の整数に切り上げる関数です。

Lutovac & et al.を参照してください。 (2001、§ 12.11、13.14)。

楕円フィルタは、通常、通過帯域リップル、阻止帯域リップル、およびカットオフの鋭さに特定の値を要求するように指定されます。これにより、通常、使用する必要があるフィルタ次数の最小値が指定されます。もう 1 つの設計上の考慮事項は、フィルタの構築に使用される電子部品の値に対するゲイン関数の感度です。この感度は、フィルタの伝達関数の極の品質係数 ( Q 係数) に反比例します。極の Q 係数は次のように定義されます。

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

これは、ゲイン関数に対する極の影響の尺度です。楕円フィルタの場合、与えられた次数に対して、リップル係数と選択係数の間に、伝達関数のすべての極の Q 係数を同時に最小化する関係が存在します。

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

この結果、部品の変動に対して最大限鈍感なフィルタが得られますが、通過帯域と阻止帯域のリップルを個別に指定する機能は失われます。このようなフィルタでは、次数が増加すると、両方の帯域のリップルが減少し、カットオフ率が上昇します。フィルタ帯域の特定の最小リップルと特定のカットオフ率を達成するために最小 Q 楕円フィルタを使用する場合は、必要な次数は一般に、最小 Q 制限がない場合に必要な次数よりも大きくなります。ゲインの絶対値の図は、極が楕円ではなく円内に配置されていることを除いて、前のセクションの画像と非常によく似ています。極は等間隔ではなく、ω 軸上にゼロがあります。これは、極がゼロのない等間隔の円内に配置されている Butterworth フィルタとは異なります。

以下は、同じ数の係数で得られた他の一般的な種類のフィルターの横に楕円フィルターを示した画像です。

画像から明らかなように、楕円フィルターは他のすべてのフィルターよりもシャープですが、帯域幅全体にリップルが現れます。

楕円フィルタのストップ バンドは、本質的には透過零点を持つチェビシェフ フィルタであり、透過零点は等リップル ストップ バンドを生成するように配置されています。これを考慮すると、チェビシェフ反射零点を分子に含み、透過零点を分母に含まないチェビシェフ フィルタの特性方程式を、チェビシェフ反射零点のスケール逆数から透過零点を繰り返し作成し、透過零点から等リップル チェビシェフ通過帯域を再構築し、反復によって に有意な変化が生じなくなるまで繰り返すことで、分子に楕円反射零点、分母に楕円透過零点を含む楕円フィルタに変換できます。^[3] 使用されるスケーリング係数 は、ストップ バンドと通過帯域のカットオフ周波数比であり、「選択係数」の逆数としても知られています。^[2] 楕円設計は一般にストップバンド減衰要件から指定されるため、は上記の最小次数nを確立する式から導くことができる。 ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

比は、上記の最小次数nの問題をnから逆に解いて求めることで導出できる。^[2]${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

および減衰要件から計算された特性多項式は、古典的な変換によって伝達関数多項式に変換される。ここで、およびは 通過帯域リップルである。^{[3] [4]}${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$${\displaystyle A_{p}}$

0 ～ 1 rad/秒で通過帯域リップルが 1 dB、少なくとも 1.25 rad/秒から 40 dB の阻止帯域リップルを持つ楕円フィルタを設計します。 ${\displaystyle \infty }$

ceil()関数を適用する前に n の値に上記の計算を適用すると、 ceil()関数を適用することで n は次の整数 5 に切り上げられた 4.83721900 であることがわかります。つまり、指定された設計要件を満たすには 5 極の楕円フィルターが必要です。正確に 40 dB の減衰のストップ バンドを設計するために必要なn に上記の計算を適用すると、 1.2186824 であることがわかります。 ${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

多項式スケール反転関数は、各根sを に変換することによって実行できます。これは、図に示すように、 多項式を反転し、 でスケールすることで簡単に実行できます。${\displaystyle \Omega _{c}/s}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

楕円設計の手順は次のようになります。^[3]

1. 1 dB の通過帯域リップルを持つチェビシェフ フィルターを設計します。
2. 反射ゼロをすべて反転して透過ゼロを作成します${\displaystyle \Omega _{c}}$
3. チェビシェフ伝送零点に概説されているプロセスを使用して、伝送零点から等リップル通過帯域を作成します。
4. 通過帯域と阻止帯域の両方が顕著な量で変化しなくなるまで、手順 2 と 3 を繰り返します。通常、15 ～ 25 回の反復で、1.e-15 未満の係数差が生成されます。

手順を説明すると、以下の K(s) 方程式は標準のチェビシェフ K(s) から始まり、その後プロセスが反復されます。最初の 3 回の反復では、目に見える違いが見られます。18 回の反復に達すると、K(s) の違いは無視できるようになります。K(s) 係数の変化が設計精度要件を満たすほど十分に小さくなった時点で、反復を中止できます。以下の K(s) 反復はすべて正規化されているため、 ですが、必要に応じてこの手順を最後の反復まで延期できます。 ${\displaystyle |K(j)|=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

伝達関数を求めるには、次のようにします。^[3]${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

左半平面からを得るには、分子と分母を因数分解して、根を求めるアルゴリズムを使用して根を取得します。分母の右半平面からすべての根と分子の重複根の半分を破棄し、残りの根で再構築します。^{[3] [4]}一般に、で 1 に 正規化します。 ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

例が正しいことを確認するために、通過帯域リップルが1 dB、カットオフ周波数が1 rad/sec、ストップバンド減衰が1.21868 rad/secから40 dBの場合 のプロットを以下に示します。${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle j\omega }$

通常はインダクタ、コンデンサ、伝送線路などの受動素子で実装され、両側に等しい値の終端を持つ偶数次楕円フィルタは、結合コイルを使用せずに従来の楕円伝達関数で実装することはできません。これは望ましくないか実現可能ではない可能性があります。これは、偶数次チェビシェフ反射零点と伝送零点を物理的に収容できないためです。その結果、散乱行列S12 値が での S12 値を超え、 に存在する有限の S12 値が発生します。通過帯域 S12 に対応するために終端の 1 つを増減してフィルタを設計することが実現不可能な場合は、楕円伝達関数を変更して、通過帯域と阻止帯域の等リップル応答を維持しながら、最低偶数次反射零点を に、最高偶数次伝送零点を に移動する必要があります。^[5]${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

必要な変更には、楕円伝達関数の各極と零点を、最低周波数反射零点を零点に、最高周波数透過零点を に、残りの極と零点を等リプル通過帯域と阻止帯域を維持するために必要な値にマッピングする方法でマッピングすることが含まれます。最低周波数反射零点は分子を因数分解することで見つけることができ、最高周波数透過零点は分母を因数分解することで見つけることができます。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

反射零点を変換するには、次の式を のすべての極と零点に適用します。^[5] 理論的には、変換操作はまたは のいずれかに対して実行できますが、反射零点は から抽出する必要があるため、一般に に対して変換操作を実行する方が効率的です。 ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

どこ：

${\displaystyle R_{i}}$元の楕円関数の零点または極

${\displaystyle R_{i}'}$修正偶数次伝達関数のマップされたゼロまたは極です。

${\displaystyle \omega _{LO}}$通過帯域内の最も低い周波数の反射ゼロです。

の虚数部の符号は、元の の符号によって決まります。 ${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i}}$

透過零点を変換するには、次の式を のすべての極と零点に適用します。^[5] 理論的には、変換操作はまたは のどちらでも実行できますが、反射零点を から抽出する必要がある場合は、 で変換操作を実行する方が効率的な場合があります。 ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

どこ：

${\displaystyle R_{i}}$元の楕円関数の零点または極

${\displaystyle R_{i}'}$修正偶数次伝達関数のマップされたゼロまたは極です。

${\displaystyle \omega _{HI}}$通過帯域内の最高周波数伝送ゼロです。

の虚数部の符号は、元の の符号によって決まります。 を操作する場合、左半平面の要件に準拠するには、 の実数部の符号が負でなければなりません。${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle R_{i}'}$

すべてのアプリケーションでは、パスとストップの両方の変換が必要であることに注意することが重要です。たとえば、パッシブネットワークダイプレクサでは、偶数次のストップバンドの変換のみが必要であり、変換されていない偶数次のパスバンドの方が効率的に動作します。^[5]

が完了すると、 における S12 の散乱行列値が 1および 0 である等リップル伝達関数が作成され、これは受動的な等終端ネットワークで実装できます。 ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

下の図は、等リップル通過帯域と阻止帯域の周波数応答を維持しながら、最低周波数反射ゼロを有限周波数から 0 に、最高周波数伝送ゼロを に移動することにより、偶数次の等終端パッシブ ネットワークをサポートするように変更された 8 次楕円フィルタを示しています。 ${\displaystyle \infty }$

上記の楕円構築段落の および 次数計算は、変更されていない楕円フィルタのみを対象としています。偶数次変更は通過帯域または阻止帯域減衰には影響しませんが、次数および計算で小さな誤差が生じることが予想されます。したがって、通過帯域および阻止帯域減衰を保持する場合は、すべての反復が完了した後に偶数次変更を適用することが重要です。要件から偶数次変更楕円関数を作成すると、実際の は設計 よりもわずかに大きくなります。同様に、次数nの計算では、実際に必要な次数よりも小さい値になることがあります。 ${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

砂時計フィルタは、反射ゼロが1ラジアン/秒の3.01dB正規化カットオフ減衰周波数の周りの透過ゼロの逆数である特殊なフィルタであり、フィルタのすべての極が単位円上に存在する。 ^{[6]楕円砂時計の実装は、通過帯域がより平坦であるという点で}逆チェビシェフフィルタ よりも優れており、カットオフ周波数でのグループ遅延のピークがそれほど鋭くないという点で従来の楕円フィルタよりも優れています。

砂時計フィルタを合成する最も簡単な方法は、指定された設計ストップバンド減衰量Asと、散乱パラメータというロスレス2ポートネットワーク要件を満たす計算された通過帯域減衰量を持つ楕円フィルタを設計することです。^[7] よく知られている振幅 dB から算術変換 と合わせて、代数操作により、次の通過帯域減衰量の計算された要件が得られます。 ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$${\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}$

${\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}$

上記で定義したA _pは、まだ不明な 3.01 dB のカットオフ周波数の周囲に相互反射ゼロと透過ゼロを生成します。 通過帯域周波数が 1 rad/sec の楕円フィルターを設計するには、3.01 dB 減衰周波数を決定する必要があり、その周波数を使用して楕円設計多項式を逆スケーリングする必要があります。 結果は、1 rad/sec の正規化周波数で 3.01 dB の減衰を持つ多項式になります。 ニュートン法を使用するか、またはルート検索アルゴリズムを使用して方程式を直接解くことで、3.01 dB 減衰周波数を決定できます。

が3.01 dBの周波数を見つけるための砂時計伝達関数であり、が3 dBの周波数を見つけるためのものである場合、以下の手順で見つけることができます。${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle \omega _{c}}$

1. がまだ利用できない場合は、 を掛けてを取得します。${\displaystyle G(s)G(-s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. が で割り切れる場合、のすべての項を否定します。つまり、、、 などに なります。変更された関数は と呼ばれ、この変更により、多項式とその導関数を評価するときに、複素数の代わりに実数を使用できるようになります。これで、複素数の代わりに実数を使用できるようになりました。${\displaystyle s^{n}}$${\displaystyle (n+2)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{6}}$${\displaystyle s^{10}}$${\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. を使用して、dB 単位の希望する減衰量 を二乗算術ゲイン値 に変換します。たとえば、3.010 dB は 0.5 に、1 dB は 0.79432823 に変換されます。${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
4. 実数値を使用して、ニュートン法で修正された を計算します。常に絶対値を取ります。${\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|}$${\displaystyle \omega _{a}}$
5. 実数値に関して修正された導関数を計算します。導関数の絶対値は取らないでください。${\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})}$${\displaystyle \omega _{a}}$

手順 1) から 4) が完了すると、ニュートン法を含む式は次のように表すことができます。

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

複雑な演算を必要とせずに、 の実数値を使用します。 の変動は、信頼性を高めるために、反復の早い段階で負にならないように制限する必要があります。 収束が完了すると、を に使用して、元の伝達関数の分母をスケーリングできます。 修正された の減衰は、1 ラジアン/秒で実質的に正確な目的の値になります。 適切に実行された場合、小さな次数と非常に大きな次数のフィルタの両方に対して、広範囲の目的の減衰値を通して減衰を設定するのに必要な反復は、ほんの数回だけです。 ${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$

には位相情報が含まれていないため、伝達関数を直接因数分解しても有効な結果は得られません。ただし、伝達関数を で乗算してのすべての奇数乗を除去し、すべての周波数で が実数になるように変更し、目的の注目度の 2 乗になる周波数を見つけます。 ${\displaystyle |G(j\omega _{a})|}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(j\omega a)}$${\displaystyle G(j\omega a)}$

1. がまだ利用できない場合は、 を掛けてを取得します。${\displaystyle G(s)G(-s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. を使用して、dB 単位の希望する減衰量 を二乗算術ゲイン値 に変換します。たとえば、3.010 dB は 0.5 に、1 dB は 0.79432823 に変換されます。${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
3. 探す${\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)}$
4. 根探索アルゴリズムを使用して P(S) の根を見つけます。
5. 上記の根の集合から、すべての次数フィルタの正の虚数根と、偶数次フィルタの正の実数根を選択します。${\displaystyle \omega _{c}}$

が決定されると、砂時計伝達関数多項式は次のようにスケーリングされます。 ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}$

偶数次砂時計フィルタには、他の楕円フィルタと同様に、均等に終端された受動ネットワークに関する同じ制限があります。楕円フィルタの問題を解決する同じ偶数次変更により、砂時計フィルタの問題も解決されます。

• ダニエルズ、リチャード W. (1974)。電子フィルタ設計の近似法。ニューヨーク: マグロウヒル。ISBN 0-07-015308-6。
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001)。MATLAB と Mathematica を使用した信号処理用フィルタ設計。米国ニュージャージー州: Prentice Hall。ISBN 0-201-36130-2。