離散化

応用数学において、離散化とは、連続関数、モデル、変数、方程式を離散的なものに変換するプロセスです。このプロセスは通常、それらをデジタル コンピューターでの数値評価と実装に適したものにするための最初のステップとして実行されます。二分化は離散化の特殊なケースであり、離散クラスの数が 2 で、連続変数をバイナリ変数として近似できます(バイナリ分類のように、モデリングの目的で二分法を作成します)。

離散化は離散数学にも関連しており、粒度コンピューティングの重要な構成要素です。この文脈では、離散化は、複数の離散変数が集約されたり、複数の離散カテゴリが融合されたりする場合など、変数 またはカテゴリの粒度の変更を指すこともあります。

連続データを離散化する場合、必ずある程度の離散化誤差が生じます。目標は、その誤差を、手元の モデリングの目的において無視できるレベルまで減らすことです。

離散化と量子化という用語は、多くの場合同じ意味を持ちますが、必ずしも同一の意味合いを持つわけではありません。(具体的には、2 つの用語は同じ意味分野を共有しています。)離散化誤差と量子化誤差についても同様です。

離散化に関連する数学的手法には、オイラー・丸山法やゼロ次ホールド法などがあります。

離散化は、連続微分方程式を数値計算に適した離散差分方程式に変換することにも関係しています。

次の連続時間状態空間モデル

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)+\mathbf {w} (t) )\\[2pt]\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t)+\mathbf {v} (t)\end{整列}}}$$

ここでvとwはパワースペクトル密度を持つ連続ゼロ平均白色雑音源である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} (t)&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\[2pt]\mathbf {v} (t)&\sim N(0, \mathbf {R} )\end{整列}}}$$

入力uのゼロ次ホールドとノイズvの連続積分を仮定すると、 離散化することができ、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A_{d}x} [k]+\mathbf {B_{d}u} [k]+\mathbf { w} [k]\\[2pt]\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C_{d}x} [k]+\mathbf {D_{d}u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{整列}}}$$

共分散を持つ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} [k]&\sim N(0,\mathbf {Q_{d}} )\\[2pt]\mathbf {v} [k]&\sim N (0,\mathbf {R_{d}} )\end{整列}}}$$

どこ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A_{d}} &=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s \mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}_{t=T}\\[4pt]\mathbf {B_{d}} &=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} \\[4pt]\mathbf {C_{ d}} &=\mathbf {C} \\[8pt]\mathbf {D_{d}} &=\mathbf {D} \\[2pt]\mathbf {Q_{d}} &=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau \\[2pt]\mathbf {R_{d}} &=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}\end{aligned}}}$$

Tはサンプル時間です。Aが非特異な場合、${\displaystyle \mathbf {B_{d}} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A_{d}} -\mathbf {I} )\mathbf {B} .}$

離散化された測定ノイズの式は、連続測定ノイズがパワースペクトル密度で定義される結果である。^[1]

A _dとB _dを1ステップで計算する巧妙な方法は、次の性質を利用することである: ^{[2] : p. 215}

$${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

ここで、A _dとB _{d は}離散化された状態空間行列です。

Q _dの数値評価は、行列の指数積分のため少し複雑です。しかし、最初に行列を構築し、その指数を計算することで計算できます^{[3]次に、離散化されたプロセスノイズは、} G の右下パーティションの転置とGの右上パーティションを乗算することで評価されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\トップ }\end{bmatrix}}T\\[2pt]\mathbf {G} &=e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {A_{d}} ^{ \top }\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {Q_{d}} =(\mathbf {A_{d}} ^{\top })^{\top }(\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} )=\mathbf {A_{d}} (\mathbf {A_{d}} ^{-1}\mathbf {Q_{d}} ).}$$

連続モデルから始めると、 行列指数はである ことがわかって おり、モデルを前乗算する と となり 、積分すると となり、 連続モデルの解析解が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$$$${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Ax} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\Bigl [}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t){\Bigr ]}=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {Bu} (t)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)&=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} (t)&=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$

ここで、上記の式を離散化します。uは各タイムステップで 一定であると仮定します。括弧 で囲まれた式は と認識し、2 番目の項は関数 に置き換えることで簡略化できます。 に注意してください。また、u は積分の間一定であると仮定すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k]&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)\\[6pt]\mathbf {x} [k]&=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[4pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} [(k+1)T-\tau ]}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \\[2pt]\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {Bu} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$${\displaystyle d\tau =-dv}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[4pt]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {Bu} [k]\end{aligned}}}$$

これは離散化問題に対する正確な解です。

Aが特異な場合でも、後者の式はテイラー展開に置き換えることで使用できます。 これにより、 実際に使用される形式である が得られます。 ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$$${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {Bu} [k]\\[2pt]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}(\mathbf {A} T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\mathbf {A} ^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {Bu} [k],\end{aligned}}}$$

正確な離散化は、行列の指数関数と積分演算が大量に必要となるため、時には扱いにくい場合があります。小さなタイムステップに基づいて、近似離散モデルを計算する方がはるかに簡単です。近似解は次のようになります。 ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$$${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {Bu} [k]}$$

これはオイラー法とも呼ばれ、前進オイラー法とも呼ばれます。その他の近似法としては、後退オイラー法とも呼ばれる と、双線形変換またはタスティン変換として知られる があります。これらの近似法にはそれぞれ異なる安定性特性があります。双線形変換は連続時間システムの不安定性を維持します。 ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} -\mathbf {A} T)^{-1}}$${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx (\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)(\mathbf {I} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} T)^{-1}}$

統計学と機械学習において、離散化とは、連続的な特徴または変数を離散化された特徴または名目上の特徴に変換するプロセスを指します。これは、確率質量関数を作成するときに役立ちます。

一般化関数理論では、離散化は緩和分布 上の畳み込み定理 の特別なケースとして生じる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

ここで、 はディラックの櫛形、 は離散化 、は 周期化、は急速に減少する緩和分布（たとえば、ディラックのデルタ関数またはその他の コンパクトにサポートされた関数）、は滑らかで、 ゆっくりと増加する通常の関数（たとえば、 が一定である関数 またはその他の帯域制限関数）、は（ユニタリ、通常の周波数）フーリエ変換です。滑らかでない関数は、離散化の前に軟化器を使用して滑らかにすることができます。 ${\displaystyle \operatorname {III} }$${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$${\displaystyle *\operatorname {III} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \alpha }$

たとえば、関数 を一定に離散化すると、ディラックのデルタ関数の線形結合の係数として解釈されるシーケンスが生成され、ディラックの櫛 を形成します。さらに切り捨てを適用すると、たとえば などの有限シーケンスが得られます。これらは時間と周波数の両方で離散的です。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$${\displaystyle [1,1,1,1]}$

• 離散イベントシミュレーション
• 離散空間
• 離散時間と連続時間
• 差分法
• 非定常流れに対する有限体積法
• 補間
• スムージング
• 確率シミュレーション
• 時間スケール計算

• Robert Grover Brown & Patrick YC Hwang (1997)。ランダム信号と応用カルマンフィルタリング入門（第3版）。ISBN 978-0471128397。
• Chi-Tsong Chen (1984)。線形システム理論と設計。フィラデルフィア、ペンシルバニア州、米国：Saunders College Publishing。ISBN 978-0030716911。
• C. Van Loan (1978年6 月)。「行列指数関数を含む積分の計算」(PDF)。IEEE Transactions on Automatic Control。23 ( 3): 395–404。doi :10.1109/ TAC.1978.1101743。hdl : 1813/7095。
• RH Middleton & GC Goodwin (1990)。デジタル制御と推定: 統一アプローチ。Prentice Hall。p. 33f。ISBN 978-0132116657。

• 幾何学と動力学における離散化：微分幾何学と動力学の離散化に関する研究