直径（群論）

群論として知られる抽象代数学の分野では、有限群の直径はその複雑さの尺度となります。

有限群と任意の生成元集合S を考えます。をケイリーグラフのグラフ直径と定義します。すると、 の直径は、生成元集合Sの最大値になります。 ${\displaystyle \left(G,\circ \right)}$ ${\displaystyle D_{S}}$ ${\displaystyle \Lambda =\left(G,S\right)}$${\displaystyle \left(G,\circ \right)}$${\displaystyle D_{S}}$

例えば、位数sの有限巡回群の場合、1つの生成元を持つ生成集合のケイリーグラフはs頂点巡回グラフです。このグラフと群の直径は です。^[1]${\displaystyle \lfloor s/2\rfloor }$

すべての非可換有限単純群 Gに対して、^{[2]が予想されます。}

${\displaystyle \operatorname {diam} (G)\leqslant \left(\log |G|\right)^{{\mathcal {O}}(1)}.}$

多くの部分的な結果は知られているが、完全な推測はまだ未解決である。^[3]