交差定理

射影幾何学において、交差定理または接続定理とは、点、線、場合によっては高次元オブジェクトとその接続関係からなる接続構造と、オブジェクトAとBのペア（例えば、点と線）に関する記述です。この「定理」は、オブジェクトの集合が接続関係を満たす場合（つまり、接続関係が保存されるように接続構造のオブジェクトと同一視できる場合）、オブジェクトAとBも接続関係にあることを述べています。交差定理は、すべての射影幾何学において必ずしも成り立つわけではありません。これは、一部の幾何学では満たされるが、他の幾何学では満たされない性質です。

例えば、デザルグの定理は、次のような接続構造を用いて記述することができる。

• ポイント：${\displaystyle \{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}}$
• 行数:${\displaystyle \{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}}$
• 事例（明らかなものに加えて、${\displaystyle (A,AB)}$):${\displaystyle \{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}}$

つまり、${\displaystyle (R,PQ)}$—点Rは直線PQと交わっている。

デサルグの定理は、射影平面Pにおいて、 P が何らかの可除環(斜体) D上の射影平面である場合に限り 成り立つ。${\displaystyle P=\mathbb {P} _{2}D}$射影平面は、デサルグ平面と呼ばれる。アミツルとベルグマンの定理によれば、デサルグ射影平面の文脈では、任意の交点定理に対して、平面P が交点定理を満たすのは、除法環Dが有理恒等式を満たす場合に限る、有理恒等式が存在する。

• パップスの六角形定理は、デサルグ射影平面において成り立つ。${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$Dが体である場合に限り、それは恒等式に対応する。${\displaystyle \forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a}$。
• ファノの公理（ある特定の交点は起こらないという公理）は、${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$Dが特性を持つ場合、かつその場合に限る${\displaystyle \neq 2}$; これは恒等式a + a = 0に対応します。

• Rowen, Louis Halle 編 (1980).環論における多項式の恒等式. 純粋応用数学. 第 84 巻. Academic Press. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6032-5 . ISBN 9780125998505。
• Amitsur, SA (1966). "有理恒等式と代数および幾何学への応用" . Journal of Algebra . 3 (3): 304– 359. doi : 10.1016/0021-8693(66)90004-4 .