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幾何学において、辺とは多角形、多面体、または高次元多面体の2つの頂点を結ぶ特定の種類の線分です。[ 1 ]多角形では、辺は境界上の線分であり、[ 2 ]多角形の辺と呼ばれることがよくあります。多面体、またはより一般的には多面体の辺では、辺は2つの面（または多面体の辺）が交わる線分です。[ 3 ]内部または外部を通過しながら2つの頂点を結ぶ線分は辺ではなく、対角線と呼ばれます。
エッジは、2 つの半平面を隔てる無限線である場合もある。[ 4 ]平面角の 辺は、半無限の半線（または光線）である。[ 5 ]
グラフ理論では、エッジは2つのグラフ頂点を結ぶ抽象的なオブジェクトであり、線分として具体的な幾何学的表現を持つ多角形や多面体のエッジとは異なります。しかし、任意の多面体は、そのスケルトンまたはエッジスケルトン、つまり頂点が多面体の幾何学的頂点であり、エッジが幾何学的エッジに対応するグラフによって表現できます。[ 6 ]逆に、3次元多面体のスケルトンであるグラフは、シュタイニッツの定理によって、まさに3頂点連結平面グラフとして特徴付けられます。[ 7 ]
ここで、Vは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数です。この式はオイラーの多面体公式として知られています。したがって、辺の数は頂点の数と面の数の合計より 2 少なくなります。たとえば、立方体には 8 つの頂点と 6 つの面があり、したがって辺は 12 個あります。
多角形では、各頂点で 2 つの辺が交わります。より一般的には、バリンスキーの定理により、 d次元凸多面体では、各頂点で少なくともd個の辺が交わります。 [ 8 ] 同様に、多面体では、各辺でちょうど 2 つの 2 次元面が交わりますが、[ 9 ]高次元多面体では、各辺で 3 個以上の 2 次元面が交わります。
高次元凸多面体の理論では、d次元多面体の面または辺は( d − 1) 次元の特徴の 1 つであり、稜線は ( d − 2) 次元の特徴であり、頂点は ( d − 3) 次元の特徴である。したがって、多角形の辺はその面であり、3 次元凸多面体の辺はその稜線であり、4 次元多面体の辺はその頂点である。[ 10 ]
