デリーニュ・マンフォードスタック

上記の定義において、「エタール」という語を「滑らかな」に弱めると、代数スタック（マイケル・アルティンにちなんでアルティンスタックと呼ばれることが多い）の概念が得られる。したがって、すべてのドリーニュ・マンフォードスタックは代数（アルティン）スタックであるが、その逆は成り立たない。^{[ 5 ]}

アトラスがエタールであるという条件は、安定化群が基底上で有限かつ非分岐であることを強制します。対照的に、一般的なアルティンスタックは、次のような正次元の安定化群を持つ可能性があります。$\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$またはアーベル多様体。^{[ 1 ]}

代数空間は、デリーニュ・マンフォードスタックの特殊な場合、すなわち対角線が埋め込みであり、安定化群が自明であるデリーニュ・マンフォードスタックとみなすことができる。この意味で、代数空間は「スタックではない」デリーニュ・マンフォードスタックである。^{[ 6 ]}

複素数体上の有限型で有限安定化子を持つ分離型デリーニュ・マンフォードスタックは、しばしばオービフォールドの代数幾何学的類似物とみなされる。より正確には、上の滑らかなデリーニュ・マンフォードスタックは、${\displaystyle \mathbb {C} }$有限安定化子を持つものは、追加の代数幾何学的構造とともに、複素オービフォールドを決定し、またそれによって決定される。^{[ 7 ]}

ドリーニュ・マンフォードスタックを構成する基本的な方法は、スキームまたは代数空間の スタック商を有限安定化群を持つ有限群作用で割ることである。${\displaystyle C_{n}=\langle a\mid a^{n}=1\rangle }$n位数の 巡回群が作用する${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$による $${\displaystyle a\cdot (x,y)=(\zeta _{n}x,\;\zeta _{n}y),}$$ どこ$\displaystyle \zeta _{n}}$は原始的なn 乗根です。商スタック ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}/C_{n}]}$ すると、アフィンな滑らかなデリーニュ・マンフォードスタックになります。安定化群は原点から離れた場所では自明であり、原点では完全な群と等しいので、すべての安定化群は有限です。

より一般的に、有限群G が基底スキームS上のスキームXに作用し、その作用がエタールであり、安定化群がS上で有限である場合、商スタックは${\displaystyle [X/G]}$S上の Deligne–Mumford スタックである。^{[ 1 ] [ 11 ]}

重み付き射影空間と重み付き射影多様体から非アフィン例が生じる。例えば、重み付き射影直線${\displaystyle \mathbb {P} (2,3)}$商スタックと表現できる ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}/\mathbb {C} ^{*}]}$ どこ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$行為 $${\displaystyle \lambda \cdot (x,y)=(\lambda ^{2}x,\;\lambda ^{3}y).}$$ ある点${\displaystyle (x,y)}$非自明な安定化装置を持つのは、${\displaystyle x=0}$または${\displaystyle y=0}$この場合、安定化群は（それぞれ位数2または3の）1の根の有限群である。したがって、すべての安定化群は有限であり、商スタックはドリーニュ・マンフォードである。このようなスタックは、重み付き射影スタックまたはスタッキー射影線と呼ばれることがある。^{[ 12 ]}

ドリーニュ・マンフォードスタックの典型的な例は、曲線のモジュライ理論に現れる。整数に対して${\displaystyle g\geq 2}$モジュリスタック${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$スキーム上の種数gの滑らかで適切な連結曲線の集合は代数スタックであり、そのデリーニュ・マンフォードコンパクト化は${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$安定な節線曲線を許容することによって得られる は、 上の適切な滑らかなデリーニュ・マンフォードスタックである${\displaystyle \operatorname {スペック} \mathbb {Z} }$[ ^{2 ] [ 13 ]​}

より一般的には、モジュライスタックは${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$そして${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$n 個のマークされた点を持つ種数gの曲線は、デリーニュ-マンフォードスタックであり、その幾何学は現代の列挙幾何学と交差理論において中心的な役割を果たしている。^{[ 13 ] [ 14 ]}

スタッキー曲線は、大まかに言えば、代数的に閉じた体上の有限型の連結な一次元分離ドリーニュ・マンフォードスタックであり、一般的に自明な安定化群を持つ。このようなオブジェクトは、非自明な有限安定化群を持つ有限個のスタッキー点を許容することで、滑らかな射影曲線を一般化する。表現論や算術幾何学に現れる重み付き射影線や特定のオービフォールド曲線が基本的な例となる。^{[ 15 ]}