円錐曲線の線形システム

代数幾何学では、射影平面の円錐曲線は、2次方程式の定数を数えるとわかるように、次元5の線形システムを形成します。与えられた点Pを通過する条件は単一の線形条件を課し、その結果、円錐曲線CからPは次元4の線形システムを形成します。興味深い他のタイプの条件には、与えられた線 Lへの接線が含まれます。

最も基本的な扱いでは、線形システムは方程式の形で現れる。

${\displaystyle \lambda C+\mu C'=0\ }$

λとμは未知のスカラーであり、両方ともゼロではない。ここでCとC′は与えられた円錐曲線である。抽象的には、これはすべての円錐曲線の空間における射影直線であり、その上で

${\displaystyle [\lambda :\mu ]\ }$

を同次座標として定義します。幾何学的には、 CとC′に共通する任意の点Q は、線型システムの各円錐曲線上にも存在します。ベズーの定理によれば、 CとC′ は4 点で交差します (正しく数えれば)。これらが一般的な位置、つまり 4 つの異なる交点 にあると仮定すると、線型システムの別の解釈として、円錐曲線が 4 つの指定された点を通過することになります (ここでの余次元4 は、円錐曲線の 5 次元空間の次元 1 と一致することに注意してください)。これらの円錐曲線のうち、ちょうど 3 つは退化であり、それぞれが 1 対の直線で構成され、4 つの点から 2 対の点を選択する方法に対応していることに注意してください (多項式係数で数え、サイズ 2 の選択だけでなく ペアのペアを数えることに関心がある場合に となる係数 2 による過剰カウントを考慮に入れます)。 ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}/2=3}}$${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$

このような族の顕著な応用例は (Faucette 1996) にあります。この応用では、4 次方程式の 4 つの根を通る円錐曲線の束を考慮し、3 つの退化した円錐曲線を解決可能な 3 次方程式の 3 つの根と同一視することで、4 次方程式の幾何学的解が与えられます。

外部ビデオ
タイプ I 線形システム (Coffman)。

たとえば、4 つの点が与えられた場合、それらを通る円錐曲線の束は、次のようにパラメータ化できます。これらは、平行な垂直線と水平線に対応する方程式とのアフィン結合です。これにより、 の標準点で退化した円錐曲線が生成されます。あまりエレガントではありませんが、より対称的なパラメータ化は次のように与えられます。この場合、a ( ) を反転すると、 xとyが入れ替わり、次の円錐曲線が生成されます。すべての場合において、中心は原点にあります。 ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$${\displaystyle ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,}$${\displaystyle x^{2}=1}$${\displaystyle y^{2}=1,}$${\displaystyle 0,1,\infty .}$${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$${\displaystyle a\mapsto -a}$

• ${\displaystyle a>1:}$左右に開いた双曲線。
• ${\displaystyle a=1:}$平行な垂直線${\displaystyle x=-1,x=1;}$

（交差点は[1:0:0]）

• ${\displaystyle 0<a<1:}$ 垂直な長軸を持つ楕円。
• ${\displaystyle a=0:}$円（半径）${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle -1<a<0:}$水平の長軸を持つ楕円。
• ${\displaystyle a=-1:}$平行な水平線${\displaystyle y=-1,y=1;}$

（交差点は[0:1:0]）

• ${\displaystyle a<-1:}$上下に開いた双曲線、
• ${\displaystyle a=\infty:}$斜めの線${\displaystyle y=x,y=-x;}$

（ を で割って極限値をとると となる）${\displaystyle a}$${\displaystyle a\to \infty }$${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

（交差点は[0:0:1]）

• 鉛筆は射影線なので、これはループします。${\displaystyle a>1,}$

(Levy 1964) の用語では、これは円錐曲線のタイプ I 線形システムであり、リンクされたビデオでアニメーション化されています。

複素数上の円錐曲線の線形システムには、基点における交差多重度に応じて 8 種類あり、実数上の円錐曲線の線形システムには、基点が実数か虚数かに応じて 13 種類に分かれます。これは (Levy 1964) で説明され、(Coffman) で図解されています。

• コフマン、アダム、円錐曲線の線形システム、 2020-08-08取得
• フォーセット、ウィリアム・マーク（1996年1月）「一般四次多項式の解の幾何学的解釈」アメリカ数学月刊誌、103（1）：51-57、CiteSeerX  10.1.1.111.5574、JSTOR  2975214
• レヴィ、ハリー（1964）、射影幾何学と関連幾何学、ニューヨーク：マクミラン社、pp. x+405