ダーシーの法則

ダルシーの法則は、多孔質媒体およびヘレ・ショーセルを通る流体の流れを記述する方程式です。この法則は、ヘンリー・ダルシーが砂層を通る水の流れに関する実験結果^{[ 1 ]}に基づいて定式化され、地球科学の一分野である水文地質学の基礎を形成しました。これは、静電気学におけるオームの法則に類似しており、流体の体積流量を水頭差（多くの場合、圧力差に比例する）と水理伝導率を介して線形的に関連付けます。実際、ダルシーの法則は、運動量フラックスに関するストークス方程式の特殊な場合であり、運動量ナビエ・ストークス方程式から導出されます。

ダルシーの法則は、熱伝導の分野におけるフーリエの法則、電気回路の分野におけるオームの法則、拡散理論におけるフィックの法則に類似している。

1830年代以降、フランスの水理技師アンリ・ダルシーは、フランスのディジョン市の水道システムを改善するために、砂ろ過器内の水の流量を研究した。彼は経験的に法則を確立し、1856年に建設報告書で発表した。^{[ 2 ]}

積分形式では、重力が存在せず、均質な透過性媒体においては、ダルシーの法則は体積流量と体積流量の間の単純な比例関係によって与えられる。${\displaystyle Q}$圧力低下${\displaystyle \Delta p}$多孔質媒体 を通して。比例定数は透過率と関連している。${\displaystyle k}$媒体の流体の動粘度${\displaystyle \mu }$与えられた距離${\displaystyle L}$圧力降下が計算される領域と断面積${\displaystyle A}$形式は以下のとおりです。 $${\displaystyle Q={\frac {kA}{\mu L}}\Delta p}$$

比率：

$${\displaystyle R={\frac {\mu L}{kA}}}$$

ダルシーの法則による水力抵抗とも定義できます。

ダルシーの法則は、局所的な形式に一般化することができる。

どこ${\displaystyle \nabla p}$水理勾配と$\displaystyle \mathbf {q} }$は体積流量であり、ここでは表面速度とも呼ばれます。比率に注意してください。

$${\displaystyle \sigma ={\frac {k}{\mu }}}$$

これは、ダルシーの法則の水理伝導率と考えることができます。

（より一般的な形式ではない）積分形式では、体積流量と圧力勾配は次の比率に対応する。

${\displaystyle q={\frac {Q}{A}}}$

${\displaystyle \nabla p={\frac {\Delta p}{L}}}$。

異方性多孔質媒体の場合、透過率は2階テンソルであり、テンソル表記ではより一般的な法則を記述することができる。

量に注目してください$\displaystyle \mathbf {q} }$（しばしばダルシー流束またはダルシー速度と呼ばれる）は、流体が細孔を通過する速度ではありません。これは体積流束、つまり単位面積あたりの流量です（「Flux Flummoxed」、 Ground Water、44（2）：125–128、2006を参照）。流速（u ）は、多孔度（φ）によって、次の式で流束（q）と関連付けられます。

${\displaystyle \mathbf {q} =\varphi \,\mathbf {u} .}$

単相（流体）流に対するダルシーの構成方程式は、絶対透過率（単相透過率）を定義する方程式である。

右図を参照すると、流速はSI単位で表されている。${\displaystyle \mathrm {(m/s)} }$多孔度φは無次元数であるため、ダルシー流束は$\displaystyle \mathbf {q} }$、または単位面積当たりの排出量も、単位で定義されます。${\displaystyle \mathrm {(m/s)} }$透過性${\displaystyle k}$単位${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$動粘度${\displaystyle \mu }$単位${\displaystyle \mathrm {(Pa\cdot s)} }$水理勾配の単位は${\displaystyle \mathrm {(Pa/m)} }$。

積分形式では、全圧力降下$\displaystyle \Delta p=p_{b}-p_{a}}$単位は${\displaystyle \mathrm {(パ)} }$、 そして${\displaystyle L}$はサンプルの長さ（単位）です${\displaystyle \mathrm {(m)} }$ダルシーの体積流量${\displaystyle Q}$、または排出量は、単位でも定義されます。${\displaystyle \mathrm {(m^{3}/s)} }$断面積${\displaystyle A}$単位${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$これらのパラメータのいくつかは、以下の代替定義で使用されます。 流体は高圧領域から低圧領域へ流れるという標準的な物理学の慣例に従い、フラックスの定義では負の符号が使用されます。入口と出口が異なる高さにある場合は、標高ヘッドを考慮する必要があることに注意してください。 圧力の変化が負の場合、流れは正のx方向になります。 絶対透過率の構成方程式についてはいくつかの提案があり、最も有名なのはおそらくKozeny 方程式( Kozeny–Carman 方程式とも呼ばれる) です。

静水圧の関係（ステビンの法則）を考慮すると、次のようになります。

$${\displaystyle p=\rho gh}$$ 積分形式を次の式に展開することもできます。 $${\displaystyle Q={\frac {kAg}{\nu L}}\,{\Delta h}}$$ ここでνは動粘度である。したがって、対応する透水係数は次のようになる。

${\displaystyle K={\frac {k\rho g}{\mu }}={\frac {kg}{\nu }}.}$

ダルシーの法則は、帯水層を流れる地下水が示すいくつかのよく知られた性質を簡潔にまとめた単純な数学的表現であり、以下のような性質が含まれます。

• 距離にわたって圧力勾配がない場合、流れは発生しない（これらは静水圧条件である）。
• 圧力勾配が存在する場合、流れは高圧から低圧に向かって発生します（勾配が増加する方向とは逆方向です。そのため、ダルシーの法則では負の符号が付けられています）。
• 圧力勾配が大きいほど（同じ地層物質を通して）、排出速度は大きくなり、
• 流体の排出速度は、異なる地層材料を通る場合（あるいは同じ材料を通る場合でも、方向が異なる場合）には、たとえ両方のケースで同じ圧力勾配が存在する場合でも、しばしば異なる。

定常状態の地下水流方程式（ダルシーの法則と質量保存則に基づく）の使用例として、ダムの下を流れる地下水の量を定量化するための流線網の構築が挙げられる。

ダルシーの法則は、低速で粘性のある流れにのみ有効ですが、ほとんどの地下水流はこのカテゴリーに該当します。通常、レイノルズ数が1未満の流れは明らかに層流であり、ダルシーの法則を適用しても問題ありません。実験では、地下水流の場合のように、レイノルズ数が10までの流れでもダルシーの法則が成り立つ場合があることが示されています。多孔質媒体の流れのレイノルズ数（無次元パラメータ）は、通常次のように表されます。

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {qd}{\nu }}\,,}$

ここで、νは水の動粘度、qは比流量（細孔速度ではなく、単位は長さ/時間）、 dは多孔質媒体の代表的な粒径（標準的な選択はmath| d30で、これはふるいを使用した粒度分析からの₃₀ %通過サイズであり、単位は長さ）です。

定常、クリープ、非圧縮性の流れ、すなわち⁠ D ( ρu _i ) / Dt ⁠ ≈ 0の場合、ナビエ・ストークス方程式はストークス方程式に簡略化され、バルク項を無視すると次のようになります。

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}-\partial _{i}p=0\,,}$

ここで、μは粘度、u _iはi方向の速度、pは圧力である。粘性抵抗力が速度に比例すると仮定すると、次のように書ける。

${\displaystyle -\left(k^{-1}\right)_{ij}\mu \varphi u_{j}-\partial _{i}p=0\,,}$

ここで、φは多孔度、k _ijは2次透過率テンソルである。これにより、 n方向の速度が得られる。

${\displaystyle k_{ni}\left(k^{-1}\right)_{ij}u_{j}=\delta _{nj}u_{j}=u_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\varphi \mu }}\partial _{i}p\,,}$

これはn方向の体積流量密度に関するダルシーの法則を与える。

${\displaystyle q_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\mu }}\,\partial _{i}p\,.}$

等方性多孔質媒体では、透過率テンソルの非対角要素はゼロ、k _ij = 0 ( i ≠ j)であり、対角要素は同一、k _ii = kとなり、以下の共通形式が得られます。これにより、与えられた領域で一連の方程式を解くことにより、液体の流れ速度を決定できます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {k}{\mu }}\,{\boldsymbol {\nabla }}p\,.}$

上記の式は、多孔質媒体における単相流体の流れを支配する方程式である。

ダルシーの法則は、堆積物中の層流に対して有効です。細粒堆積物では、間隙の寸法が小さいため、流れは層流になります。粗粒堆積物も同様の挙動を示しますが、非常に粗粒の堆積物では、流れが乱流になる場合があります。^{[ 17 ]}したがって、ダルシーの法則は、このような堆積物では常に有効とは限りません。市販の円形パイプ内の流れでは、レイノルズ数が2000未満の場合は流れが層流になり、4000を超える場合は乱流になりますが、一部の堆積物では、レイノルズ数が1未満の場合に流れが層流になることがわかっています。^{[ 18 ]}

• ダルシーは流体の透過率を表す単位である。
• 水文地質学
• 地下水流動方程式
• 数理モデル
• 黒油方程式
• フィックの法則
• エルグン方程式