多孔質媒体を通る流体の流れ

流体力学では、多孔質媒体を通る流体の流れとは、スポンジや木材などの多孔質媒体を流れる流体、または砂やその他の多孔質材料を使用して水を濾過する流体の挙動を指します。一般的に観察されるように、一部の流体は媒体を通過しますが、流体の一部は媒体内の細孔に蓄えられます。

多孔質媒体における古典的な流動力学では、媒体は均質、等方性であり、粒界細孔構造を持っていると仮定しています。また、流体はニュートン流体であり、貯留層は等温であり、井戸は垂直であることなども仮定しています。多孔質媒体における従来の流動問題には、単相定常流、複数井戸干渉、油水二相流、天然ガス流、弾性エネルギー駆動流、油ガス二相流、ガス水二相流が含まれることがよくあります。^[1]

物理化学的流動プロセスは、多孔質システムの古典的な流動理論における基本的なニュートン流体とは対照的に、さまざまな物理的特性の変化と化学反応を伴います。粘度、表面張力、相状態、濃度、温度、その他の物理的特性は、これらの特性の例です。非ニュートン流体の流れ、拡散による物質移動、多相および多成分流体の流れは、主要な流動問題です。^[2]

多孔質媒体を通る流体の動きは、ダルシーの法則と質量保存則の組み合わせによって記述され、毛細管力または流体速度を、有効細孔半径、液体粘度、浸透率などのさまざまなパラメータの関数として表します。^[3]しかし、ダルシーの法則のみを使用すると、ナノ細孔の割合が非常に高い頁岩や密な砂岩などの不均質媒体に対して正確な結果が得られません。このため、ダルシー流、遷移流、滑り流、自由分子流などのさまざまな流動様式の加重割合を考慮した流動モデルを使用する必要があります。^[4]

多孔質媒体を通る流体の流れを支配する基本法則はダルシーの法則であり、これは1856年にフランスの土木技術者ヘンリー・ダルシーが砂床を通した垂直水ろ過の実験に基づいて定式化したものです。^[5]

ダルシーの法則によれば、流体の粘度、有効流体透過率、流体圧力勾配が貯留層内の任意の位置での流量を決定する。^[6]

フラックスが点ごとに変化する過渡プロセスの場合、次のダルシーの法則の微分形式が使用されます。

ダルシーの法則は、多孔質材料がすでに流体で飽和している状況で有効です。最初は乾燥していた媒体への液体の毛細管吸収速度の計算には、ウォッシュバーンの式またはボザンケットの式が使用されます。

多孔質媒体を横切る流体の質量保存則は、流入する質量流束から流出する質量流束を引いたものが媒体に蓄えられた量の増加に等しいという基本原理を伴う。 ^[7]これは流体の全質量が常に保存されることを意味する。数学的に表現すると、からまでの期間、からまでの多孔質媒体の長さ、および媒体に蓄えられた質量を考えると、 ${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle [A\rho (x)q(x)-A\rho (x+\Delta x)q(x+\Delta x)]\Delta t=m(t+\Delta t)-m(t).}$

さらに、 となります。ここで は、と の間の媒体の細孔容積で、は密度です。したがって、は多孔度です。両辺を で割ると、 となり、多孔質媒体内の1次元線形流について次の関係式が得られます。 ${\displaystyle m=\rho V_{p}}$${\displaystyle V_{p}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+\Delta x}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle m=\rho V_{p}=\rho \phi V=\rho \phi A\Delta x,}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A\Delta x}$${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {-d(\rho q)}{dx}}={\frac {d(\rho \phi )}{dt}}~~~~(i)}$

3次元では、この式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d(\rho q)}{dx}}+{\frac {d(\rho q)}{dy}}+{\frac {d(\rho q)}{dz}}={\frac {-d(\rho \phi )}{dt}}}$

この式の左側の数学的演算は の発散と呼ばれ、単位体積あたりに流体が特定の領域から発散する速度を表します。 ${\displaystyle \rho q}$

上記の質量保存式（i）の右側の積の法則（および連鎖律）を用いると、

${\displaystyle {\frac {d(\rho \phi )}{dt}}=\rho {\frac {d\phi }{dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dt}}= \rho {\frac {d\phi }{dP}}{\frac {dP}{dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dt}}=\rho \phi \left[{\frac {1}{\phi }}{\frac {d\phi }{dP}}+{\frac {1}{\rho }} {\frac {d\rho }{dP}}\right]\quad {\frac {dP}{dt}}=\rho \phi [c_{\phi }+c_{f}]{\frac {dP}{dt}}~~~~(ii)}$

ここで、=流体の圧縮率、 = 多孔質媒体の圧縮率である。^[9]ここで、質量保存式の左辺はダルシーの法則によって次のように 表される。${\displaystyle c_{f}}$${\displaystyle c_{\phi}}$

${\displaystyle {\frac {-d(\rho q)}{dx}}={\frac {-d}{dx}}\left[{\frac {-\rho k}{\mu }}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {k}{\mu }}\left[\rho {\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+{\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dx}}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dP}}\right)\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ~~~~(iii)}$

とで得られた結果を等しくすると、 ${\displaystyle (ii)}$${\displaystyle (iii)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}={\frac {\phi \mu (c_{f}+c_{\phi })}{k}}{\frac {dP}{dt}}}$

左辺の2番目の項は通常無視できるので、1次元の拡散方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {k}{\phi \mu c_{t}}}{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}}$

ここで。^[10]${\displaystyle c_{t}=c_{f}+c_{\phi }}$

• アチソン、DJ (1990)。『初等流体力学』クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-859679-0。
• ラム、ホレス（1994）。流体力学（第6版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-45868-4。1879 年に最初に出版され、第 6 版が 1932 年に初めて登場しました。
• Milne-Thompson, LM (1968).理論流体力学(第 5 版). Macmillan.1938年に初版が出版されました。
• シンブロット、M. (1973)。流体力学に関する講義。ゴードンとブリーチ。ISBN 0-677-01710-3。
• Chanson, H. (2009).応用流体力学: 理想流体と実流体の入門. CRC Press, Taylor & Francis Group, ライデン, オランダ, 478 ページ. ISBN 978-0-415-49271-3。
• Clancy, LJ (1975).空気力学. ロンドン: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-01120-0。
• ナザレンコ、セルゲイ（2014）、流体力学の例と解答、CRC Press（テイラー＆フランシスグループ）、ISBN 978-1-43-988882-7

• 多孔質媒体における流体の流れの基礎
• 地質学の話題: 多孔性
• 透過性の定義
• 透過性を制御するための多孔質媒体の調整
• 多孔質媒体の透過性
• 透過性の異なる材料を通過する異なる流量のグラフ表示