シリンダーセットメジャー

数学において、円筒集合測度（かくりんせつせき、かくりんせき、かくりんせき、かくりんせき、CSMとも呼ばれる）は、無限次元ベクトル空間上の測度のプロトタイプの一種である。例としては、ヒルベルト空間上のガウス円筒集合測度が挙げられる。

円筒集合測度は一般に測度ではない（特に、可算加法である必要はなく、有限加法であるだけでよい）が、ユークリッド空間の原点から始まる連続パスの集合上の古典的なウィーナー測度などの測度を定義するために使用できる。これは、抽象ウィーナー空間の構築で行われ、そこでは可分ヒルベルト空間上に円筒集合ガウス測度を定義し、円筒測度が円筒代数上で σ 加法になるようにバナッハ空間を選択する。

シリンダー セット メジャーを定義するには、同等の方法が 2 つあります。

一つの方法は、より小さな σ 代数に対する特定の制限が σ 加法測度であるような円筒代数上の集合関数として直接定義することです。これは有限次元線形演算子で表現することもできます。

を 上の位相ベクトル空間とし、その代数的双対を と表し、を部分空間とする。このとき、任意の有限集合に対してへの制限が 成り立つとき、集合関数は円筒集合測度 となる。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle G\subseteq X^{*}}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {Cyl}}(X,G)\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle F=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subset G}$

${\displaystyle \mu :\sigma ({\mathcal {Cyl}}(X,F))\to \mathbb {R} _{+}}$

はσ加法測度である。 はσ代数であるが、 はσ代数ではないことに注意すること。^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \sigma ({\mathcal {Cyl}}(X,F))}$${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(X,G)}$

${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(N,M)}$は、双対を 持つ2つの空間に対して定義される円筒代数、すなわち円筒集合全体の集合で ある。${\displaystyle \langle ,\rangle :=\langle ,\rangle _{N,M}}$

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{m},B}=\{x\in N\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{m}\rangle )\in B\}}$

および。^{[4] [5} ]${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in M}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})}$

いつものように、これを円筒形の確率測度と呼びます。 ${\displaystyle \mu (X)=1}$

を実位相ベクトル空間とします。を、その像が有限次元実ベクトル空間であるすべての射影連続線型写像の集合とします。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle T:E\to F_{T}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{T}}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}(E):=\left\{T\in \mathrm {Lin} (E;F_{T}):T{\mbox{全射かつ}}\dim _{\mathbb {R} }F_{T}} <+\infty \right\}.}$$

測定対象シリンダーは測定単位の集合である${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

ここで、は 上の測度です。これらの測度は、次の一貫性条件を満たす必要があります。 が全射影 である場合、測度の 前進は次のようになります。${\displaystyle \mu_{T}}$${\displaystyle F_{T}.}$${\displaystyle \pi _{ST}:F_{S}\to F_{T}}$$${\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}\left(\mu _{S}\right).}$$

であれば、それは円筒形の確率測度です。著者によっては円筒形の測度を確率測度として明示的に定義している人もいますが、そうである必要はありません。 ${\displaystyle \mu (E)=1}$

をレオナルド・グロスによる古典的な定義による抽象ウィーナー空間とすると、これは可分ヒルベルト空間、可分バナッハ空間であり、可測ノルムまたはグロス可測ノルムと稠密な範囲を持つ連続線型埋め込みによる完備化である。グロスは次に、この構成により円筒ガウス測度をバナッハ空間上の σ 加法測度として継続できることを示した。より正確には、を の位相双対空間とすると、彼は円筒代数上で定義された上の円筒ガウス測度がバナッハ空間の円筒代数上で σ 加法になることを示した。したがって、測度は円筒 σ 代数上でも σ 加法であり、これはカラテオドリの拡大定理に従うため、古典的な意味での測度でもある。^[6]${\displaystyle (H,B,i)}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$${\displaystyle i:H\to B}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(H,H')}$${\displaystyle {\mathcal {Cyl}}(B,B')}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(B,B'):=\sigma ({\mathcal {Cyl}}(B,B'))}$

一貫性条件は 、真のメジャーが前進する方法に基づいてモデル化されます (「シリンダー セット メジャーと真のメジャー」セクションを参照)。ただし、シリンダー セット メジャーの場合、これは結果ではなく定義の一部である要件であることを理解することが重要です。 $${\displaystyle \mu_{T}=\left(\pi_{ST}\right)_{*}(\mu_{S})}$$

円筒集合測度は、位相ベクトル空間の円筒集合上の有限加法関数を定義するものとして直感的に理解できる。円筒集合は、における測定可能な集合のにおける原像である。が、が定義されている上の-代数を表す場合、 ${\displaystyle E.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle F_{T}}$${\displaystyle \mu_{T}}$$${\displaystyle \mathrm {Cyl} (E):=\left\{T^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}_{T},T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

実際には、を 上のボレル-代数とすることが多い。この場合、 が可分なバナッハ空間のとき、円筒集合によって生成される σ-代数はのボレル -代数とまったく同じであることが示される。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle F_{T}.}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle \mathrm {Borel} (E)=\sigma \left(\mathrm {Cyl} (E)\right).}$$

上の円筒集合測度は、実際には上の真の測度ではありません。これは、 のすべての有限次元画像上で定義された測度の集合です。に確率測度がすでに定義されている場合、プッシュフォワードを使用して、上の円筒集合測度が生成されます。に${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu _{T}=T_{*}(\mu )}$${\displaystyle F_{T}.}$

このように、ある尺度がある場合、表記法を少し乱用して、円筒集合の尺度が「その」尺度であると言うのが通例である。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu _{T}=T_{*}(\mu )}$${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}}$${\displaystyle \mu .}$

バナッハ空間がヒルベルト空間でもあるとき、${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H,}$ 上の内積構造から生じる標準ガウス円筒集合測度。具体的には、 が上の内積を表す、 が 上の商内積を表すとします上の測度は上ガウスとして定義されます。 ここで はユークリッド内積を上の内積に取ったヒルベルト空間の等長変換であり、上の標準ガウス測度${\displaystyle \gamma^{H}}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle H,}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$${\displaystyle F_{T}.}$${\displaystyle \gamma_{T}^{H}}$${\displaystyle F_{T}}$${\displaystyle F_{T}}$$${\displaystyle \gamma _{T}^{H}:=i_{*}\left(\gamma ^{\dim F_{T}}\right),}$$${\displaystyle i:\mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}\to F_{T}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$${\displaystyle F_{T},}$${\displaystyle \gamma^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

無限次元の可分ヒルベルト空間上の標準的なガウス円筒集合測度は、上の真の測度には対応しません。 証明は非常に簡単です。半径の球体（中心は 0）の測度は、最大で - 次元ヒルベルト空間の半径の球体の測度に等しく、 が無限大に向かうにつれて 0 に近づきます。したがって、半径の球体の測度は 0 です。ヒルベルト空間はそのような球体の可算な和集合であるため、これもまた測度 0 となり、これは矛盾です。（無限次元ルベーグ測度 を参照してください。） ${\displaystyle H}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$

ガウス円筒集合測度が測度ではないことの別の証明は、キャメロン・マーティン定理と測度の準不変性に関する結果を使用する。 が本当に測度である場合、上の恒等関数はその測度をラドン化し、抽象的なウィーナー空間を作成します。 キャメロン・マーティン定理により、は の任意の元による平行移動に対して準不変になり、が有限次元であるか がゼロ測度であることを意味します。 どちらの場合も、矛盾があります。 ${\displaystyle \gamma ^{H}=\gamma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {id} :H\to H}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \gamma}$

サゾノフの定理は、標準的なガウス円筒集合測度の前進を真の測度に変換できる 条件を与えます。

核 フレシェ空間の双対上の円筒集合測度は、そのフーリエ変換が連続的であれば、自動的に測度に拡張されます。

例:を有限次元ベクトル空間上のシュワルツ関数の空間とします。これは核関数です。これは関数のヒルベルト空間に含まれ、ヒルベルト空間は核フレシェ空間の双対である緩和超関数の空間に含まれます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$$${\displaystyle S\subseteq H\subseteq S^{\prime }.}$$

ガウス円筒集合測度は緩和分布の空間上の円筒集合測度を与え、緩和分布の空間上の測度に拡張される。${\displaystyle H}$${\displaystyle S^{\prime }.}$

ヒルベルト空間は、上の測度0を持ち、上の測度は上の測度には拡張されないことを示すために上で使用した最初の議論によって、${\displaystyle H}$${\displaystyle S^{\prime },}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H.}$

• 抽象ウィーナー空間 – 無限次元空間に関する数学的構成。
• 円筒形σ代数
• 放射線化機能
• ガウス測度の構造定理 – 数学定理

• IM Gel'fand、N.Ya. Vilenkin、 「一般化関数。調和解析の応用」、第 4 巻、Acad. Press (1968)
• RA Minlos (2001) [1994]、「円筒測定」、数学百科事典、EMS Press
• RA Minlos (2001) [1994]、「シリンダーセット」、数学百科事典、EMS Press
• L. シュワルツ、「ラドン測定」。