キャメロン・マーティン定理

数学において、キャメロン・マーティン定理またはキャメロン・マーティン公式（ロバート・ホートン・キャメロンとWTマーティンにちなんで名付けられた）は、キャメロン・マーティン・ヒルベルト空間の特定の要素による平行移動の下で抽象的なウィーナー測度がどのように変化するかを記述する測度論の定理である。

モチベーション

標準ガウス尺度 $\displaystyle \gamma ^{n}}$ の上 $n$ 次元ユークリッド空間 $\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ は並進不変ではない。（実際、ハールの定理により、スケールまで並進不変なラドン測度は一意に存在する。 $n$ 次元ルベーグ測度、ここでは $dx$ （代わりに、測定可能な部分集合） $A$ ガウス測度を持つ

\gamma _{n}(A)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.

ここ $\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}$ は、標準ユークリッドドット積を指します。 $\mathbf {R} ^{n}$ ガウス尺度による並進の $A$ ベクトルによって $h\in \mathbf {R} ^{n}$ は

{\begin{aligned}\gamma _{n}(A-h)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x-h,x-h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.\end{aligned}}

翻訳を通して $h$ ガウス尺度は、最後の表示に示されている分布関数によってスケーリングされます。

\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).

セットに関連付けられる尺度 $A$ 番号 $\gamma _{n}(A-h)$ はプッシュフォワード尺度であり、と表記される。 $(T_{h})_{*}(\gamma ^{n}).$ ここ $T_{h}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ 翻訳マップを参照します。 $T_{h}(x)=x+h$ 上記の計算から、プッシュフォワード測度の元のガウス測度に関するラドン・ニコディム微分は次のように与えられることがわかる。

{\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right).

抽象的なウィーナー測度 $\gamma$ 分離可能なバナッハ空間上 $E$ 、どこ $i:H\to E$ は抽象的なウィーナー空間であり、適切な意味で「ガウス測度」でもある。平行移動によってどのように変化するのか？稠密部分空間の要素による平行移動のみを考慮すると、上記と同様の式が成り立つことがわかる。 $i(H)\subseteq E$ 。

定理の記述

抽象的なウィーナー空間（バナッハ空間設定）の場合

させて $i:H\to E$ 抽象ウィーナー測度を持つ抽象ウィーナー空間である ${\displaystyle \gamma$ 。 $h\in H$ 、定義する $T_{h}:E\to E$ による $T_{h}(x)=x+i(h)$ 。それから $(T_{h})_{*}(\gamma )$ と同等 $\gamma$ ラドン-ニコディム誘導体

{\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{H}^{2}\right),

どこ

\langle h,x\rangle ^{\sim }=i(h)(x)

はペイリー・ウィーナー積分を表す。

キャメロン・マーティン公式は、稠密部分空間の要素による平行移動に対してのみ有効である。 $i(H)\subseteq E$ キャメロン・マーティン空間と呼ばれ、任意の要素によってではなく $E$ キャメロン・マーティン公式が任意の並進に対して成り立つとすれば、以下の結果と矛盾するだろう。

もし

E

は分離可能なバナッハ空間であり、

\mu

は、上の局所的に有限なボレル測度である。

E

それは、いかなる翻訳の下でも自身の前進に相当するので、

E

有限次元を持つか

\mu

は自明な（ゼロ）測度である。（準不変測度を参照。）

実際には、 $\gamma$ 要素による並進に対して準不変である $v$ かつその場合に限り $v\in i(H)$ . ベクトル $i(H)$ これらは、キャメロン・マーティン方位と呼ばれることもあります。

局所凸ベクトル空間の一般版

局所凸ベクトル空間を考える $E$ ガウス尺度で $\gamma$ 円筒σ代数について $\sigma (\operatorname {Cyl} (E,E'))$ そして $\gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)$ 翻訳を次のように表す $m\in E$ 位相双対の要素の場合 $f\in E'$ 平均値までの距離を定義する $t_{\gamma }(f):=f-\mathbb {E} _{\gamma }[f],$ そして、閉包を表す $L^{2}(E,\gamma )$ として $E_{a}^{\gamma }:=\operatorname {clos} \left\{(t_{\gamma }(f_{n}))_{n}\colon \ f\in E'\right\}$ 共分散演算子を定義する ${\overline {R_{\gamma }}}:E_{a}^{\gamma }\to (E')^{*}$ 閉鎖まで延長

{\overline {R_{\gamma }}}(f)(g)=\langle f,g-\mathbb {E} _{\gamma }[g]\rangle _{L^{2}(\gamma )}

。

規範を定義する

\|h\|_{H_{\gamma }}:=\sup\{f(h)\colon f\in E',\;{\overline {R_{\gamma }}}(f)(f)\leq 1\},

そしてキャメロン・マーティン空間 $H_{\gamma }$ の $\gamma$ で $E$ は

H_{\gamma }=\{h\in E\colon \|h\|_{H_{\gamma }}<\infty \}

。

もし $h\in E$ 存在する $g\in E_{a}^{\gamma }$ そのため $h={\overline {R_{\gamma }}}(g)$ それから $h\in H_{\gamma }$ そして $\|h\|_{H_{\gamma }}=\|g\|_{L^{2}(\gamma )}$ さらに、等価性がある。 $\gamma _{h}\sim \gamma$ ラドン・ニコディム密度

{\frac {d\gamma _{h}}{d\gamma }}=\exp \left(g(x)-{\frac {1}{2}}\|h\|_{H_{\gamma }}^{2}\right).

もし $h\not \in H_{\gamma }$ この2つの尺度は特異である。^{[ 1 ]}

部品による統合

キャメロン・マーティンの公式は、部分積分公式を生み出す。 $E$ ：もし $F:E\to \mathbf {R}$ フレシェ微分が有界である $\mathrm {D} F:E\to \operatorname {Lin} (E;\mathbf {R} )=E^{*}$ キャメロン・マーティン公式をウィーナー測度に関して両辺で積分すると、

\int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\|h\|_{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)

いかなる場合でも $t\in \mathbf {R}$ 形式的に区別する $t$ そして評価する $t=0$ 部分積分公式を与える

\int _{E}\mathrm {D} F(x)(i(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\langle h,x\rangle ^{\sim }\,\mathrm {d} \gamma (x).

ベクトル解析の発散定理との比較から、

\mathop {\mathrm {div} } [V_{h}](x)=-\langle h,x\rangle ^{\sim },

どこ $V_{h}:E\to E$ 定数「ベクトル場」 $V_{h}(x)=i(h)$ すべての人々のために $x\in E$ より一般的なベクトル場を考慮し、確率積分を「発散」として考えるという願望は、確率過程とマリアバン解析、特にクラーク・オコーネの定理とその関連する部分積分公式の研究につながる。

アプリケーション

キャメロン・マーティン定理を用いると、(Liptser and Shiryayev 1977、p. 280を参照)次のことが証明できる。 $q\times q$ 対称非負定値行列 $H(t)$ その要素 $H_{j,k}(t)$ 連続であり、条件を満たす

\int _{0}^{T}\sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|\,dt<\infty ,

それは $q$ −次元ウィーナー過程 $w(t)$ それ

E\left[\exp \left(-\int _{0}^{T}w(t)^{*}H(t)w(t)\,dt\right)\right]=\exp \left[{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}\operatorname {tr} (G(t))\,dt\right],

どこ $G(t)$ は $q\times q$ 行列値リッカチ微分方程式の唯一の解である非正定値行列

{\frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t)

境界条件付き $G(T)=0$ 。

1次元ブラウン運動の特殊な場合では $H(t)=1/2$ 唯一の解決策は $G(t)=\tanh(t-T)$ そして、キャメロンとマーティンによって確立されたオリジナルの公式があります。 $E\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}w(t)^{2}\,dt\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {\cosh T}}}.$

参考文献

↑ボガチェフ、ウラジミール (1998).ガウス測度. ロードアイランド:アメリカ数学会.

Cameron, RH; Martin, WT (1944). "ウィーナー積分の並進による変換". Annals of Mathematics . 45 (2): 386–396 . doi : 10.2307/1969276 . JSTOR 1969276 .
Liptser, RS; Shiryayev, AN (1977).ランダム過程の統計学 I: 一般理論. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90226-0。
エルワージー、デイビッド（2008）、「MA482 確率解析（PDF）」、講義ノート、ウォーリック大学
ルナルディ、アレッサンドラ。ミランダ、ミケーレ。パラーラ、ディエゴ (2016)、無限次元解析、講義ノート、第 19 回インターネットセミナー、マテマティカ大学およびフェラーラ大学情報学部

[1] ボガチェフ、ウラジミール (1998).ガウス測度. ロードアイランド:アメリカ数学会.

[ 1 ]

キャメロン・マーティン定理

モチベーション

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抽象的なウィーナー空間（バナッハ空間設定）の場合

局所凸ベクトル空間の一般版

部品による統合

アプリケーション

関連項目

参考文献

関連するトピック

数学

ロバート・ホートン・キャメロン

WTマーティン

ヒルベルト空間の特定の要素による平行