曲面鏡

曲面鏡は、曲面の反射面を持つ鏡です。表面は凸面（外側に膨らんでいる）または凹面（内側にへこんでいる）のいずれかです。ほとんどの曲面鏡は球の一部のような形の表面を持っていますが、光学機器では他の形状が使用されることもあります。最も一般的な非球面型は放物面反射鏡で、遠くの物体を映す必要がある反射望遠鏡などの光学機器に使われています。これは、球面レンズなどの球面鏡システムが球面収差の影響を受けるためです。歪曲鏡は娯楽に使われます。歪曲鏡には凸面と凹面の領域があり、意図的に歪んだ像を作り出します。また、物体が特定の距離に置かれると、像が大きく拡大されたり、小さくなったりします。

凸面鏡または発散鏡は、反射面が光源に向かって膨らんでいる曲面鏡です。^[1]凸面鏡は光を外側に反射するため、光を集光するためには使用されません。このような鏡は、焦点( F ) と曲率中心 ( 2F ) が両方とも鏡の「内側」にある仮想の点であり、到達できないため、常に虚像を形成します。その結果、これらの鏡によって形成された画像は、画像が鏡の内側にあるため、スクリーンに投影できません。画像は物体よりも小さく、物体が鏡に近づくにつれて大きくなります。

コリメートされた（平行な）光線は、凸面鏡からの反射後に発散（拡散）します。これは、表面の 法線が鏡上の各点で異なるためです。

車の助手席側ミラーは、通常、凸面鏡です。一部の国では、凸面鏡に「鏡に映る物体は、見た目よりも近くにあります」という安全警告ラベルが貼られています。これは、凸面鏡が距離の認識に歪みをもたらすことをドライバーに警告するためです。凸面鏡は、縮小（小さい）されてはいるものの、正立（反転ではない）した像を映し出すため、また外側に湾曲しているため視野が広いため、車両に好まれています。

これらの鏡は、病院、ホテル、学校、店舗、アパートなど、さまざまな建物の廊下によく見られます（一般に「廊下安全鏡」として知られています）。廊下が交差する場所や急カーブがある場所の壁や天井に取り付けられているのが一般的です。次の廊下や次のカーブの先に障害物があるかどうかを確認するのに役立ちます。また、カーブや曲がり角など、視界が悪くなる場所で道路利用者の安全を確保するために、道路、私道、路地にも使用されています。^[2]

凸面鏡は、一部の現金自動預け払い機で、ユーザーが背後で何が起こっているかを確認できるシンプルで便利なセキュリティ機能として使用されています。 同様のデバイスは、通常のコンピューター モニターに取り付ける形で販売されています。 凸面鏡を使用すると、すべてが小さく見えますが、監視範囲は広くなります。

丸い凸面鏡は、Oeil de Sorcière（フランス語で「魔術師の目」）と呼ばれ、15世紀以降、人気のあった贅沢品で、当時の室内の描写に多く登場している。^[3] 15世紀の技術では、完全に平らな鏡よりも、通常の曲面鏡（吹きガラス製）を作る方が簡単だった。また、視野が広く防犯に役立ったことから、「銀行家の目」としても知られていた。美術作品の有名な例としては、ヤン・ファン・エイクの『アルノルフィーニ夫妻の肖像画』や、ロバート・カンピンの『ヴェルル祭壇画』の左翼などがある。^[4]

凸面鏡上の像は常に仮想（光線は実際には像を通過しておらず、通常の鏡のようにその延長線が像を通過している）で、縮小（より小さく）、垂直（反転していない）です。物体が鏡に近づくにつれて、像は大きくなり、鏡に触れると物体とほぼ同じサイズになります。物体が離れるにつれて、像のサイズは縮小し、徐々に焦点に近づき、物体が無限遠にあるときに焦点内の一点にまで縮小されます。これらの機能により、凸面鏡は非常に便利です。鏡の中ではすべてが小さく見えるため、通常の平面鏡よりも広い視野をカバーできます。そのため、道路上で運転者の車の後ろを走る車を見たり、監視のためにより広い範囲を監視したりするのに便利です。

凹面鏡、または収束鏡には、内側に凹んだ（入射光から離れた）反射面があります。凹面鏡は光を 1 つの焦点に内側に反射します。光を集中させるために使用されます。凸面鏡とは異なり、凹面鏡は物体と鏡の間の距離に応じて異なる種類の画像を表示します。

これらの鏡は、入射する光を集め、平行に入射する光線を焦点に再集束させる傾向があるため、「収束鏡」と呼ばれます。これは、鏡面の法線が各点で異なるため、光が鏡上の異なる点で異なる角度で反射されるためです。

凹面鏡は反射望遠鏡に使用されます。^[5]また、化粧やひげそりをする際に顔の拡大像を提供するためにも使用されます。^[6]照明用途では、凹面鏡は小さな光源からの光を集めて、トーチ、ヘッドランプ、スポットライトのようにビーム状に外側に向けるために、または集光型太陽光発電のように広い領域からの光を集めて小さな点に焦点を合わせるために使用されます。凹面鏡はレーザー構造で重要な光学空洞を形成するために使用されます。一部の歯科用ミラーは、拡大像を提供するために凹面を使用しています。現代の航空母艦のミラー着陸補助システムでも凹面鏡が使用されています。

ほとんどの曲面鏡は球面形状をしています。^[7]これらは最も簡単に作ることができ、汎用的な用途に最適な形状です。ただし、球面鏡は球面収差の影響を受けます。つまり、このような鏡から反射された平行光線は一点に焦点を合わせません。非常に遠くの物体から来る平行光線などの場合、放物面反射鏡の方が適しています。このような鏡は、球面鏡よりも入射する平行光線をはるかに小さな点に焦点を合わせることができます。トロイダル反射鏡は放物面反射鏡の一種で、鏡の角度によって焦点距離が異なります。

ガウスミラー方程式はミラーとレンズ方程式とも呼ばれ、物体距離と像距離を焦点距離に関連付けます。[ 2 ^]${\displaystyle d_{\mathrm {o} }}$${\displaystyle d_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {1}{d_{\mathrm {o} }}}+{\frac {1}{d_{\mathrm {i} }}}={\frac {1}{f}}}$。

ここで使用される符号規則は、焦点距離が凹面鏡の場合は正、凸面鏡の場合は負であり、物体と像がそれぞれ鏡の前にある場合は、とが正であるということです。（物体または像が実在する場合は正です。）^[2]${\displaystyle d_{\mathrm {o} }}$${\displaystyle d_{\mathrm {i} }}$

凸面鏡の場合、を解くために項を方程式の右側に移動すると、結果は常に負の数になります。これは、像の距離が負であることを意味します。つまり、像は仮想であり、鏡の「後ろ」にあります。これは、上記の動作と一致しています。 ${\displaystyle 1/d_{\mathrm {o} }}$${\displaystyle 1/d_{\mathrm {i} }}$

凹面鏡の場合、像が仮想か実像かは、焦点距離と比較して物体までの距離がどれだけ大きいかによって決まります。項が項よりも大きい場合、項は正であり、像は実像です。それ以外の場合、項は負であり、像は仮想です。これも、上記の動作を検証します。 ${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle 1/d_{\mathrm {o} }}$${\displaystyle 1/d_{\mathrm {i} }}$

鏡の倍率は、像の高さを物体の高さで割ったものとして定義されます。

${\displaystyle m\equiv {\frac {h_{\mathrm {i} }}{h_{\mathrm {o} }}}=-{\frac {d_{\mathrm {i} }}{d_{\mathrm {o} }}}}$。

慣例により、結果の拡大率が正の場合、画像は正立になります。拡大率が負の場合、画像は反転されます (上下逆になります)。

イメージの位置とサイズは、上の図に示すように、グラフィカルな光線追跡によっても見つけることができます。オブジェクトの上部からミラー表面の頂点(光軸がミラーと交わる場所) に引かれた光線は、光軸に対して角度を形成します。反射された光線は、軸に対して同じ角度を持ちますが、反対側にあります (鏡面反射を参照)。

2 番目の光線は、物体の上部から光軸と平行に引くことができます。この光線はミラーで反射され、その焦点を通過します。これら 2 つの光線が交わる点は、物体の上部に対応する像点です。光軸からの距離によって像の高さが定義され、軸に沿った位置が像の位置です。ミラー方程式と拡大方程式は、これら 2 つの光線を考慮することで幾何学的に導き出すことができます。代わりに、物体の上部から焦点を通過する光線を考慮することができます。このような光線は光軸と平行に反射し、物体の上部に対応する像点も通過します。

数学的処理は近軸近似で行われます。つまり、第 1 近似では球面鏡は放物面反射鏡になります。凹面球面鏡の光線行列を次に示します。行列の要素は で、 は光学装置の焦点です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle -{\frac {1}{f}}}$${\displaystyle f}$

ボックス1と3では、三角形の角度の合計とπ ラジアン(または 180°) の比較を示します。ボックス2 では、最大 1 次までのマクローリン級数を示します。凸球面鏡と薄レンズの光線行列の導出は非常に似ています。 ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {r}{R}}\right)}$

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